함수의 극한과 연속

무엇의 뿌리인가

미적분Ⅰ 성취기준 [12미적Ⅰ-01-01]~[12미적Ⅰ-01-04]에 해당한다. 공통수학2에서 유리함수와 무리함수의 그래프와 점근선을 보았다면, 이 계단은 x가 한 값에 한없이 가까워질 때 함숫값이 어디로 가는지를 극한으로 나타낸다. 극한은 그 점에서의 함숫값과 별개이며, 좌극한과 우극한이 모두 있고 같아야 극한값이 있다. 분자와 분모가 모두 0에 가까워지는 꼴은 인수분해나 유리화 등으로 식을 변형한 뒤 구한다. 어떤 점에서 연속이려면 함숫값, 극한값이 있고 두 값이 같아야 하며, 이 개념은 미분의 바탕이 된다(교육부 고시 제2022-33호 수학과 교육과정 기반).

뿌리 자가 점검

그 점에서 함수가 정의되지 않아도 극한값이 있을 수 있는 까닭을 말할 수 있는가. 최대·최소 정리와 사잇값 정리가 닫힌구간에서 연속인 함수에서 성립하는 까닭을 설명할 수 있는가.

여기서 흔히 생기는 구멍

극한값이 그 점의 함숫값과 같다고 보는 구멍이 대표적이다. 극한은 x가 a에 한없이 가까워질 때의 값이라 x가 a인 순간의 값과 별개다. 분모와 분자가 모두 0에 가까워지는 꼴에서 그대로 대입해 답을 내는 것도 흔하다. 연속을 끊어지지 않은 인상만으로 판단하는 것도 조심해야 한다. 어떤 점에서 연속인지는 함숫값과 극한값이 있는지, 두 값이 같은지를 차례로 확인한다.

이 개념의 뿌리

이 개념이 받치는 개념

이 개념의 유형 정리