뿌리학습 · 고등 수학
함수의 극한과 연속
어떤 값에 한없이 가까워지는 현상을 다루는 것이 미적분의 출발점이다. 이 단원에서는 한 점에 가까이 갈 때 함숫값이 어디로 다가가는지를 보는 함수의 극한을 배우고, 그 극한을 이용해 함수가 끊어지지 않고 이어진다는 말의 뜻을 정확히 정한다. 여기서 세운 도구로 다음 단원에서 미분을 정의한다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
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개념 정리
가 가 아니면서 에 한없이 가까워질 때 가 일정한 값 에 한없이 가까워지면, 는 에 수렴한다고 하고 로 쓴다. 여기서 중요한 것은 에서의 함숫값을 보지 않는다는 점이다. 그 점에서 함수가 정의되어 있지 않아도 극한값은 있을 수 있다. 또 다가가는 방향이 두 가지이므로 왼쪽에서 다가갈 때의 값인 좌극한과 오른쪽에서 다가갈 때의 값인 우극한이 모두 존재하고 서로 같아야 극한값이 있다.
함숫값이 어떤 하나의 값에 가까워지지 않으면 발산한다고 한다. 값이 한없이 커지거나 작아지는 경우가 대표적이고, 일정한 범위에서 계속 오르내려 어떤 값에도 가까워지지 않는 경우도 발산이다. 값이 한없이 커지는 상태를 나타낼 때 쓰는 기호 는 수가 아니다. 그래서 발산은 극한값이 있는 경우가 아니다.
극한의 계산에는 성질이 있다. 두 함수의 극한이 각각 존재할 때 합, 차, 곱의 극한은 각 극한의 합, 차, 곱과 같고, 분모의 극한이 이 아니면 몫도 마찬가지다. 조건이 붙어 있다는 점이 중요하다. 각각은 발산해도 합이나 차가 수렴하는 경우가 있기 때문이다. 대입했을 때 분모와 분자가 모두 에 가까워지는 꼴이 되면 식을 바꾸어야 한다. 은 분자를 인수분해해 약분하면 이고, 는 분자를 유리화해 가 된다. 가 한없이 커질 때는 분모의 최고차항으로 나눈다. 다.
이제 연속을 정의하자. 함수 가 에서 연속이라는 것은 세 가지가 모두 성립한다는 뜻이다. 첫째로 가 정의되어 있고, 둘째로 가 존재하며, 셋째로 그 극한값이 와 같아야 한다. 하나라도 어긋나면 그 점에서 불연속이다. 그래프가 이어져 보인다는 인상만으로 판단하지 말고 세 가지를 차례로 확인하는 것이 안전하다.
구간에서의 연속도 같은 방식이다. 열린구간의 모든 점에서 연속이면 그 구간에서 연속이라 하고, 닫힌구간이라면 양 끝점에서는 한쪽 극한만 따진다. 왼쪽 끝점에서는 오른쪽에서 다가가는 극한이, 오른쪽 끝점에서는 왼쪽에서 다가가는 극한이 함숫값과 같으면 된다. 닫힌구간에서 연속인 함수는 두 가지 중요한 성질을 가진다. 하나는 최대·최소 정리로, 그 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다는 것이다. 다른 하나는 사잇값 정리로, 두 끝에서의 함숫값 사이의 값을 함숫값으로 갖는 점이 그 구간 안에 적어도 하나 존재한다는 것이다. 이 정리는 그런 점이 있다는 것까지만 말해 주므로 개수를 묻는 문제에서는 증가와 감소를 따로 살펴야 한다.
극한은 곧 미분으로 이어진다. 다음 단원에서 배우는 미분계수는 평균변화율의 극한으로 정의되고, 미분가능한 함수는 반드시 연속이라는 관계도 여기서 세운 연속의 정의 위에서 설명된다. 연속함수의 성질은 방정식의 실근이 있는지 판단하는 문제에서도 계속 쓰인다.
자주 하는 착각
함수의 극한의 뜻
- x가 a에 가까워질 때의 극한값이 그 점에서의 함숫값과 반드시 같다고 본다. 극한을 값을 대입하는 일로 여기기 때문이다. 극한은 x가 a에 한없이 가까워질 때 함숫값이 어디에 가까워지는지를 보는 것이므로, x가 a인 순간의 값과는 별개다. 그 점에서 함수가 정의되어 있지 않아도 극한값은 있을 수 있다.
- 좌극한과 우극한을 따로 확인하지 않는다. 그래프가 대체로 매끄럽게 이어진 예만 보기 때문이다. 극한값이 있으려면 왼쪽에서 다가갈 때와 오른쪽에서 다가갈 때의 값이 모두 있고 서로 같아야 한다. 계단 모양으로 값이 뛰는 함수에서는 두 값이 달라 극한값이 없다.
- 발산할 때의 무한대를 하나의 값처럼 다룬다. 극한값이 무한대라고 쓰는 표기 때문이다. 무한대는 수가 아니라 값이 한없이 커지는 상태를 나타내는 기호다. 그래서 발산은 극한값이 있는 경우가 아니라 없는 경우에 해당한다.
극한의 성질과 계산
- 극한의 성질을 각 함수의 극한이 있는지 따지지 않고 쓴다. 합과 곱이 나뉘어 계산되는 모습만 기억하기 때문이다. 두 함수의 극한이 각각 존재할 때에만 합, 차, 곱으로 나누어 계산할 수 있다. 각각은 발산하지만 합이나 차는 수렴하는 경우가 있으므로 먼저 확인해야 한다.
- 분모와 분자가 모두 0에 가까워지는 꼴에서 그대로 대입해 답을 낸다. 대입이 가장 빠른 방법이라고 배웠기 때문이다. 이런 꼴은 대입만으로는 극한값을 정할 수 없으므로, 인수분해해 약분하거나 근호가 있으면 분자나 분모를 유리화해 식을 바꾼 뒤에 구해야 한다.
- 무한대에서 무한대를 뺀 꼴이나 무한대를 무한대로 나눈 꼴을 0이나 1로 본다. 같은 것끼리 빼거나 나눈다고 생각하기 때문이다. 이런 꼴은 표기만으로 결과를 정할 수 없고 식의 모양에 따라 결과가 달라진다. 분모의 최고차항으로 나누거나 유리화해 식을 정리한 뒤 판단해야 한다.
함수의 연속
- 연속을 그래프가 끊어지지 않았다는 인상만으로 판단한다. 그림으로 먼저 배우기 때문이다. 어떤 점에서 연속이려면 그 점에서 함숫값이 정의되어 있고, 그 점에서의 극한값이 존재하며, 두 값이 서로 같아야 한다. 세 가지를 차례로 확인하는 습관이 필요하다.
- 닫힌구간의 양 끝점에서도 양쪽 극한을 모두 확인하려 한다. 안쪽의 점에서 하던 방법을 그대로 쓰기 때문이다. 구간의 왼쪽 끝점에서는 오른쪽에서 다가가는 극한만, 오른쪽 끝점에서는 왼쪽에서 다가가는 극한만 함숫값과 비교한다.
연속함수의 성질
- 사잇값 정리를 조건을 확인하지 않고 쓰거나, 해가 정확히 하나라고 단정한다. 결론만 외우기 때문이다. 이 정리는 닫힌구간에서 연속이라는 조건이 있어야 쓸 수 있고, 두 끝에서의 함숫값 사이의 값을 갖는 점이 적어도 하나 있다는 것까지만 말해 준다. 개수를 정하려면 증가와 감소를 따로 살펴야 한다.
- 어떤 구간에서든 최댓값과 최솟값이 있다고 본다. 그래프에 가장 높은 곳과 낮은 곳이 늘 있어 보이기 때문이다. 최대·최소 정리는 닫힌구간에서 연속인 함수에 대해 성립한다. 열린구간이거나 중간에 끊어진 함수라면 최댓값이나 최솟값이 없을 수 있다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
x가 a에 가까워질 때의 극한값은 x=a일 때의 함숫값과 반드시 같다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
극한을 '그 점에 값을 대입하는 것'으로 이해하면, 극한값과 함숫값이 항상 같다고 생각하기 쉬워요. 하지만 극한은 x가 a에 한없이 가까워질 때 함숫값이 어디로 가까워지는지를 보는 것이지, x가 정확히 a인 순간을 보는 것이 아니에요. 그래서 x=a에서 함수가 아예 정의되어 있지 않더라도, 그 주변에서 함숫값이 일정한 값에 가까워지면 극한값은 존재할 수 있어요.
함수의 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같아야 한다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
그래프가 매끄럽게 이어진 함수만 주로 접하다 보면, 왼쪽과 오른쪽 중 어느 방향에서 다가가도 자연스럽게 같은 값에 가까워진다고 느끼기 쉬워요. 그래서 굳이 좌극한과 우극한을 나눠 확인할 필요가 없다고 생각하게 되는 거예요. 실제로는 계단 모양처럼 값이 갑자기 뛰는 함수에서는 왼쪽에서 다가갈 때와 오른쪽에서 다가갈 때의 값이 서로 달라질 수 있어요. 이 경우 극한값이 존재하지 않으므로, 극한을 판단할 때는 반드시 좌극한과 우극한을 따로 확인해야 해요.
극한값이 무한대인 경우, 무한대도 하나의 극한값으로 존재하는 것이다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
lim f(x) = ∞ 와 같이 무한대를 극한값처럼 쓰는 표기 때문에, 무한대가 하나의 수처럼 느껴지기 쉬워요. 실제로는 무한대는 수가 아니라 값이 한없이 커지는 상태를 나타내는 기호예요. 그래서 극한값이 무한대라는 표현은 극한값이 있다는 뜻이 아니라, 값이 한없이 커져서 극한값이 존재하지 않는다는 뜻이에요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반