수열의 극한과 급수

무엇의 뿌리인가

미적분Ⅱ 성취기준 [12미적Ⅱ-01-01]~[12미적Ⅱ-01-05]에 해당한다. 대수에서 등차·등비수열을 배웠고 미적분Ⅰ에서 함수의 극한을 세웠다면, 이 계단은 번호가 한없이 커질 때 수열이 어디로 가는지를 본다. 어떤 값에도 가까워지지 않으면 진동하는 경우까지 모두 발산이고, 등비수열은 공비가 −1보다 크고 1 이하일 때 수렴하며, 공비가 1이면 모든 항이 같아 첫째항으로 수렴한다. 급수가 수렴한다는 것은 부분합의 수열이 수렴한다는 뜻이며, 첫째항이 0이 아닌 등비급수는 공비의 절댓값이 1보다 작을 때만 수렴한다(교육부 고시 제2022-33호 수학과 교육과정 기반).

뿌리 자가 점검

일반항이 0에 가까워져도 급수가 발산할 수 있는 까닭을 말할 수 있는가. 공비가 −1인 등비수열이 발산하는 까닭을 설명할 수 있는가.

여기서 흔히 생기는 구멍

일반항이 0에 가까워지면 급수도 수렴한다고 보는 구멍이 대표적이다. 급수가 수렴하면 일반항은 0에 가까워지지만 거꾸로는 성립하지 않는다. 발산을 값이 한없이 커지는 경우로만 보는 것도 흔한데, 두 값을 번갈아 오가는 진동도 발산이다. 등비급수의 수렴 조건 없이 합의 공식을 쓰는 것도 조심해야 한다. 첫째항이 0이 아닐 때 공비의 절댓값이 1보다 작아야 수렴한다.

이 개념의 뿌리

이 개념의 유형 정리