피어남

뿌리학습 · 고등 수학

수열의 극한

끝없이 이어지는 것을 수학으로 어떻게 다룰까. 항이 무한히 많은 수열에서 항의 값이 결국 어디로 가는지, 그 항들을 모두 더하면 어떤 값이 되는지를 묻는 것이 이 단원이다. 무한을 다루는 방법을 익히면 끝없이 작아지는 도형의 길이나 넓이를 모두 더하는 문제도 풀 수 있고, 이후 적분에서 넓이를 구하는 과정도 같은 생각 위에 서 있다.

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개념 정리

수열 {an}\{a_n\}에서 nn이 한없이 커질 때 ana_n이 일정한 값 α\alpha에 한없이 가까워지면 그 수열은 α\alpha에 수렴한다고 하고 lim⁡n→∞an=α\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha로 쓴다. 수렴하지 않으면 발산한다고 한다. 값이 한없이 커지거나 작아지는 경우뿐 아니라, 두 값을 번갈아 오가며 어떤 값에도 가까워지지 않는 경우도 발산이다. 여기서 nn은 항의 번호이므로 자연수만 생각한다는 점이 함수의 극한과 다르다.
극한의 계산에는 성질이 있다. 두 수열이 각각 수렴할 때 합과 차, 곱의 극한은 각 극한의 합과 차, 곱과 같고, 분모의 극한이 00이 아니면 몫도 마찬가지다. 조건이 붙는다는 점을 잊으면 안 된다. 무한대끼리 빼거나 나눈 꼴은 표기만으로 결과가 정해지지 않으므로, 분모의 최고차항으로 나누거나 유리화해 식을 정리한 뒤 판단한다.
등비수열 {rn}\{r^n\}은 공비에 따라 갈린다. −1<r<1-1<r<1이면 00에 수렴하고, r=1r=1이면 모든 항이 11이므로 11에 수렴한다. r>1r>1이면 항의 값이 한없이 커져 발산하고, r=−1r=-1이면 두 값을 번갈아 오가며 발산하며, r<−1r<-1이면 항의 절댓값이 한없이 커지면서 부호가 번갈아 바뀌어 발산한다. 정리하면 수렴하는 범위는 −1<r≤1-1<r\le1이다. 양 끝의 두 값에서 결과가 달라지므로 경계를 정확히 기억해야 한다.
이제 급수다. 수열의 항을 첫째항부터 차례로 더해 나간 것을 급수라 하고, 제nn항까지 더한 값을 부분합이라 한다. 급수가 수렴한다는 것은 부분합이 이루는 수열이 수렴한다는 뜻이고, 그 극한값을 급수의 합이라 한다. 무엇의 극한을 보는지가 수열의 극한과 다르다. 여기서 중요한 관계가 하나 있다. 급수가 수렴하면 일반항은 00에 가까워진다. 그러나 거꾸로는 성립하지 않아서, 일반항이 00에 가까워져도 발산하는 급수가 있다.
첫째항이 aa이고 공비가 rr인 등비급수는 조건이 분명하다. a=0a=0이면 모든 항이 00이라 공비와 관계없이 수렴하고 합은 00이다. a≠0a\ne0일 때는 ∣r∣<1|r|<1이면 수렴하고 그 합이 a1−r\frac{a}{1-r}이며, ∣r∣≥1|r|\ge1이면 발산한다. 공식을 쓰기 전에 공비의 절댓값을 확인하는 습관이 필요하다. 예를 들어 1+12+14+⋯1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots는 공비가 12\frac{1}{2}이므로 합이 11−12=2\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2다.
등비급수는 도형 문제에서 자주 쓰인다. 일정한 비로 작아지는 도형을 끝없이 그려 넓이를 모두 더하는 상황이 대표적이다. 이때 조심할 점이 있다. 길이가 절반으로 줄면 넓이는 사분의 일로 줄어든다. 닮음비를 그대로 공비로 쓰지 말고 무엇의 비를 더하는지 확인해야 한다. 다음 단원에서는 이 극한의 감각을 바탕으로 여러 가지 함수의 미분을 다룬다.

자주 하는 착각

수열의 극한

  1. 수열의 극한을 함수의 극한과 같은 방식으로 다룬다. 기호가 비슷하기 때문이다. 수열에서 번호는 자연수이므로 한없이 커지는 경우만 생각하고, 중간의 어떤 값에 가까워지는 상황은 다루지 않는다.
  2. 발산을 값이 한없이 커지는 경우로만 본다. 무한대로 가는 예만 보기 때문이다. 어떤 값에도 가까워지지 않으면 모두 발산이며, 두 값을 번갈아 오가며 진동하는 경우도 발산이다.
  3. 극한의 성질을 각 수열이 수렴하는지 확인하지 않고 쓴다. 식을 나누어 계산하는 모습만 기억하기 때문이다. 두 수열이 각각 수렴할 때에만 합과 차, 곱으로 나누어 계산할 수 있고, 몫에서는 분모의 극한이 0이 아니어야 한다.
  4. 무한대끼리 빼거나 나눈 꼴을 0이나 1로 본다. 같은 것끼리 셈한다고 생각하기 때문이다. 이런 꼴은 표기만으로 결과를 정할 수 없다. 분모의 최고차항으로 나누거나 유리화해 식을 정리한 뒤에 판단해야 한다.
  5. 등비수열의 수렴 조건에서 양 끝값을 잘못 잡는다. 절댓값이 1보다 작다는 것만 외우기 때문이다. 공비가 1일 때는 모든 항이 같아 수렴하고, 공비가 −1일 때는 두 값을 오가며 발산하며, 공비가 −1보다 작으면 항의 절댓값이 한없이 커지면서 부호가 번갈아 바뀌어 발산한다. 수렴하는 범위는 −1보다 크고 1 이하인 경우다.

급수

  1. 급수의 수렴을 일반항이 어떤 값에 가까워지는 것으로 본다. 수열의 극한과 급수를 같은 것으로 여기기 때문이다. 급수가 수렴한다는 것은 첫째항부터 차례로 더한 부분합이 이루는 수열이 수렴한다는 뜻이다. 무엇의 극한을 보는지가 다르다.
  2. 일반항이 0에 가까워지면 급수도 수렴한다고 본다. 조건을 뒤집어 쓰기 때문이다. 급수가 수렴하면 일반항은 0에 가까워지지만, 거꾸로는 성립하지 않는다. 일반항이 0에 가까워져도 발산하는 급수가 있다.
  3. 등비급수의 수렴 조건을 확인하지 않고 합의 공식을 쓴다. 공식이 먼저 떠오르기 때문이다. 첫째항이 0이 아닐 때 등비급수는 공비의 절댓값이 1보다 작은 경우에만 수렴한다. 조건을 확인한 뒤에 공식을 써야 한다.
  4. 등비급수의 합에서 첫째항을 잘못 잡는다. 식의 앞에 보이는 수를 그대로 쓰기 때문이다. 합의 공식에 들어가는 것은 그 급수의 첫째항이다. 중간 항부터 더하는 급수라면 그 자리의 항이 첫째항이 된다.

활용

  1. 도형에 등비급수를 쓸 때 닮음비와 넓이의 비를 같은 것으로 본다. 비라는 말이 같기 때문이다. 닮음비가 두 배이면 넓이의 비는 네 배가 된다. 길이의 비를 제곱해야 넓이의 비가 되므로 공비를 정할 때 무엇의 비인지 확인해야 한다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

수열의 극한은 함수의 극한과 같은 방식으로 다룰 수 있으므로, 수열의 번호가 특정 값에 가까워지는 경우도 생각할 수 있다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

수열의 극한과 함수의 극한에 사용되는 기호가 비슷하게 생겨서, 함수의 극한처럼 번호가 중간의 어떤 값에 가까워지는 상황도 다룰 수 있다고 여기기 쉬워요. 하지만 수열의 번호는 1, 2, 3, …과 같은 자연수이기 때문에, 번호가 특정 중간 값에 가까워지는 상황 자체가 성립하지 않아요. 따라서 수열의 극한은 번호가 한없이 커질 때 수열의 값이 어떻게 되는지만 다루는 거예요.
수열의 값이 두 값을 번갈아 오가며 진동하는 경우도 발산에 해당한다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

교과서에서 발산의 예로 값이 한없이 커지는 수열을 먼저 접하다 보니, 발산을 '무한대로 커지는 것'으로만 이해하기 쉬워요. 실제로는 어떤 하나의 값에도 가까워지지 않으면 모두 발산이라고 하며, 1과 -1을 번갈아 오가는 것처럼 진동하는 수열도 발산에 포함돼요.
극한의 성질을 이용하면 두 수열의 수렴 여부와 관계없이 합, 차, 곱, 몫으로 나누어 극한값을 계산할 수 있다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

계산 과정에서 식을 나누어 처리하는 절차만 익숙하게 기억하다 보면, 그 앞에 붙는 조건은 자연스럽게 흘려보내기 쉬워요. 실제로는 두 수열이 각각 수렴한다는 전제가 갖춰져야만 합, 차, 곱의 극한을 나누어 계산하는 것이 허용돼요. 몫의 경우에는 여기에 더해 분모의 극한값이 0이 아닌지도 반드시 확인해야 해요.

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