피어남

뿌리학습 · 중학 수학

삼각비, 원의 성질

높은 건물의 꼭대기까지 줄자를 대어 재기는 어렵다. 그런데 직각삼각형에서는 각 하나만 정해지면 변의 길이의 비도 함께 정해진다. 그래서 밑에서 잰 거리와 꼭대기를 올려본각만 알면 높이를 계산할 수 있다. 이 단원에서는 그 비인 삼각비를 배우고, 이어서 원이 가진 여러 성질을 살펴본다.

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개념 정리

직각삼각형에서 직각이 아닌 한 각을 기준으로 삼자. 그 각과 마주 보는 변, 이웃한 변, 그리고 직각과 마주 보는 빗변이 정해진다. 이때 마주 보는 변을 빗변으로 나눈 값을 사인, 이웃한 변을 빗변으로 나눈 값을 코사인, 마주 보는 변을 이웃한 변으로 나눈 값을 탄젠트라 하고 각각 sin⁡A\sin A, cos⁡A\cos A, tan⁡A\tan A로 쓴다. 기준이 되는 각이 바뀌면 어느 변이 마주 보는 변인지도 바뀌므로, 식을 세우기 전에 기준각과 직각의 위치를 먼저 표시해야 한다.
삼각비의 값은 삼각형의 크기와 관계가 없다. 한 각의 크기가 같은 직각삼각형들은 모두 닮은 도형이어서 대응하는 변의 비가 같기 때문이다. 그래서 삼각비는 각의 크기만으로 정해진다. 자주 쓰는 값은 두 도형에서 나온다. 한 변의 길이가 1인 정사각형을 대각선으로 자르면 45도의 삼각비를 얻어 sin⁡\sin과 cos⁡\cos의 값이 모두 22\frac{\sqrt{2}}{2}, tan⁡\tan의 값이 11이 된다. 정삼각형을 반으로 자르면 30도와 60도의 삼각비를 얻는다. 30도에서는 차례로 12\frac{1}{2}, 32\frac{\sqrt{3}}{2}, 33\frac{\sqrt{3}}{3}이고, 60도에서는 32\frac{\sqrt{3}}{2}, 12\frac{1}{2}, 3\sqrt{3}이다. 0도와 90도 사이에서 각이 커지면 사인과 탄젠트는 커지고 코사인은 작아진다.
이제 처음의 문제로 돌아가자. 건물에서 2020 m 떨어진 지점에서 꼭대기를 올려본각이 30도라면, 탄젠트의 값이 높이를 밑변으로 나눈 값이므로, 높이는 2020에 30도의 탄젠트 값인 33\frac{\sqrt{3}}{3}을 곱한 2033\frac{20\sqrt{3}}{3}, 약 11.511.5 m다. 여기서 끝이 아니다. 각을 잰 곳이 눈높이 1.51.5 m였다면 그만큼을 더해야 건물의 높이가 된다. 삼각비로 구한 값이 그림에서 어느 부분의 길이인지 확인하는 습관이 중요하다.
다음은 원이다. 원 위의 두 점을 이은 선분을 현이라 한다. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하고, 거꾸로 현의 수직이등분선은 반드시 원의 중심을 지난다. 이 성질을 이용하면 깨진 원판의 조각만 있어도 서로 평행하지 않은 두 현을 긋고 각각의 수직이등분선을 그려 그 교점으로 원래 중심을 찾을 수 있다. 또 원의 중심에서 같은 거리에 있는 두 현은 길이가 같고, 길이가 같은 두 현은 중심에서 같은 거리에 있다.
원과 한 점에서 만나는 직선은 접선이고 그 점은 접점이다. 접점을 지나는 반지름과 접선은 서로 수직이며, 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 접점까지 이루는 길이는 서로 같다. 원주각도 중요한 성질을 가진다. 그 호를 제외한 원 위의 한 점에서 호의 양 끝을 바라본 각을 그 호에 대한 원주각이라 한다. 꼭짓점을 그 부분의 원 위에서 어디로 옮겨도 원주각의 크기는 모두 같고, 그 크기는 같은 호에 대한 중심각의 절반이다. 반원에 대한 중심각이 180180도이므로, 지름을 보는 원주각, 곧 반원에 대한 원주각은 언제나 직각이다.
이 단원의 내용은 고등학교에서 크게 넓어진다. 삼각비는 90도보다 큰 각과 음수인 각으로 확장되어 삼각함수가 되고, 삼각형의 변과 각을 잇는 사인법칙으로 이어진다. 원의 성질은 좌표평면 위에서 원의 방정식으로 다시 다루어지며, 원과 직선의 위치 관계를 식으로 판단하게 된다.

이 단원 시험에서 묻는 것

학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.

  • [9수03-16]삼각비의 뜻을 알고, 간단한 삼각비의 값을 구할 수 있다.

자주 하는 착각

삼각비의 뜻

  1. 삼각비를 직각삼각형이 아닌 삼각형에서도 그대로 쓴다. 삼각형이면 어디서나 쓸 수 있는 공식으로 외웠기 때문이다. 중학교에서 배우는 삼각비는 직각삼각형에서 정해지므로, 식을 세우기 전에 직각이 어디에 있는지와 기준이 되는 각이 무엇인지를 먼저 확인해야 한다.
  2. 사인, 코사인, 탄젠트에서 어느 변이 분모이고 어느 변이 분자인지 뒤바꾼다. 변을 위아래나 좌우 같은 그림 속 위치로 외우기 때문이다. 기준이 되는 각이 정해지면 그 각과 마주 보는 변과 이웃한 변이 정해지고, 빗변은 직각과 마주 보는 변으로 늘 같다. 사인은 마주 보는 변을 빗변으로, 코사인은 이웃한 변을 빗변으로, 탄젠트는 마주 보는 변을 이웃한 변으로 나눈 값이다.
  3. 삼각형이 크면 삼각비의 값도 커진다고 본다. 변의 길이가 달라지면 비도 달라질 것이라고 생각하기 때문이다. 한 각의 크기가 같은 직각삼각형들은 서로 닮음이므로 대응하는 변의 비가 모두 같다. 삼각비의 값은 삼각형의 크기와 관계없이 각의 크기에 의해서만 정해진다.
  4. 30도, 45도, 60도의 삼각비 값을 서로 바꿔 쓴다. 값을 표로만 외우고 어디서 나온 수인지 모르기 때문이다. 이 값들은 한 변의 길이가 1인 정사각형을 대각선으로 자른 삼각형과, 정삼각형을 반으로 자른 삼각형에서 나온다. 잊었을 때는 그 두 삼각형을 그려 변의 길이를 적어 보면 다시 구할 수 있다.
  5. 각이 커지면 세 삼각비가 모두 함께 커진다고 본다. 각과 값이 나란히 커지는 표의 첫 줄만 기억하기 때문이다. 0도와 90도 사이에서 각이 커지면 사인과 탄젠트의 값은 커지지만 코사인의 값은 오히려 작아진다.

삼각비의 활용

  1. 활용 문제에서 삼각비를 곱해야 할지 나누어야 할지 혼동한다. 구하려는 변이 분자인지 분모인지 따지지 않고 공식을 그대로 쓰기 때문이다. 삼각비를 비례식으로 적은 뒤 구하려는 변에 대해 정리하면 된다. 구하려는 높이가 분자에 있으면 곱하고, 분모에 있으면 나눈다.
  2. 계산으로 얻은 값을 곧바로 답으로 적는다. 삼각비를 구하면 문제가 끝났다고 생각하기 때문이다. 눈높이나 받침대의 높이처럼 그림에서 따로 떨어져 있는 길이가 있으면 더해야 하고, 구한 값이 무엇의 길이인지 그림에서 다시 확인해야 한다.

원의 현과 접선

  1. 원의 중심을 찾는 문제에서 현의 성질을 쓰지 않는다. 현은 원 위의 두 점을 잇는 선분일 뿐이라고만 알고 있기 때문이다. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하고, 거꾸로 현의 수직이등분선은 반드시 원의 중심을 지난다. 두 현의 수직이등분선을 그으면 그 교점이 중심이다.
  2. 접선이 원과 만나는 곳에서 반지름과 이루는 각을 문제마다 다르게 본다. 접선을 원에 살짝 닿는 직선으로만 이해하기 때문이다. 접점을 지나는 반지름과 접선은 서로 수직이며, 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 접점까지 이루는 길이는 서로 같다.

원주각

  1. 한 호에 대한 원주각이 꼭짓점의 위치에 따라 달라진다고 보거나, 중심각과 같다고 본다. 꼭짓점이 움직이면 삼각형의 모양이 달라 보이기 때문이다. 한 호에 대한 원주각은 그 호를 제외한 원 위의 점을 꼭짓점으로 삼으며, 그 점이 어디에 있든 크기가 모두 같고 그 호에 대한 중심각의 절반이다. 그래서 지름을 보는 원주각, 곧 반원에 대한 원주각은 언제나 직각이 된다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

삼각비는 모든 삼각형에서 각의 크기와 변의 길이 관계를 나타내는 공식이므로, 직각삼각형이 아닌 삼각형에서도 그대로 적용할 수 있다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

삼각비를 '삼각형이면 어디서나 쓸 수 있는 공식'으로 외우다 보면, 직각이 없는 삼각형에서도 그대로 적용하려는 실수를 하기 쉬워요. 실제로 중학교에서 다루는 삼각비는 직각삼각형을 바탕으로 정해지기 때문에, 직각이 아닌 삼각형에 바로 적용하면 식 자체가 성립하지 않아요. 삼각비를 이용하려면 먼저 그 삼각형 안에 직각이 있는지, 그리고 기준이 되는 각이 어느 각인지를 확인하는 것이 중요해요.
코사인은 기준각과 이웃한 변을 빗변으로 나눈 값이다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

그림에서 각의 위치를 기준으로 변을 외우다 보면 마주 보는 변과 이웃한 변의 역할을 헷갈리기 쉬워요. 실제로는 기준각이 정해지면 그 각에 마주 보는 변은 사인의 분자, 이웃한 변은 코사인의 분자가 되고, 분모는 항상 빗변(직각과 마주 보는 변)이에요.
직각삼각형의 크기가 커지면 삼각비의 값도 커진다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

변의 길이가 달라지면 그 비율도 달라질 것이라고 생각하기 쉬워요. 그러나 한 각의 크기가 같은 직각삼각형들은 서로 닮음이기 때문에 대응하는 변의 비가 모두 같아요. 실제로는 삼각형이 아무리 크거나 작아도 각의 크기가 같으면 삼각비의 값은 항상 같답니다.

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자주 묻는 질문

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