삼각비

이 단원 시험에서 묻는 것

• 삼각비의 뜻. 직각삼각형에서 한 예각 A를 기준으로, sin A는 마주 보는 변 ÷ 빗변, cos A는 이웃한 변 ÷ 빗변, tan A는 마주 보는 변 ÷ 이웃한 변입니다. 빗변은 직각과 마주 보는 변입니다.
• 삼각비는 각의 크기로 정해집니다. 한 예각의 크기가 같은 직각삼각형은 모두 닮음이므로, 삼각형의 크기와 관계없이 삼각비의 값이 같습니다.
• 한 삼각비로 나머지 구하기. sin A = 3/5이면 빗변 5, 마주 보는 변 3인 직각삼각형을 그리고 피타고라스 정리로 나머지 변 4를 구해 cos A = 4/5, tan A = 3/4를 얻습니다.
• 특수각의 삼각비. sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = √3/3, sin 45° = cos 45° = √2/2, tan 45° = 1, sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = √3입니다. 정사각형과 정삼각형을 반으로 나눈 직각삼각형에서 나오는 값입니다.
• 0°와 90°, 삼각비의 대소. 0°에서 90°로 각이 커지면 sin의 값은 커지고 cos의 값은 작아지며, tan의 값은 0° 이상 90° 미만에서 커집니다. sin 0° = 0, cos 0° = 1, tan 0° = 0, sin 90° = 1, cos 90° = 0이고 tan 90°의 값은 정할 수 없습니다.
• 길이 구하기. 직각삼각형에서 한 변의 길이와 한 예각의 크기를 알면 삼각비로 나머지 변의 길이를 구합니다. 건물의 높이를 재는 문제에서는 눈높이처럼 따로 더해야 하는 길이를 빠뜨리지 않아야 합니다.
• 넓이 구하기. 두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인각 x가 예각인 삼각형의 넓이는 (1/2) × a × b × sin x입니다. 끼인각이 둔각이면 sin(180° − x)를 씁니다.

자주 하는 착각

1. 사인, 코사인, 탄젠트에서 어느 변이 분모이고 어느 변이 분자인지 뒤바꾼다. 변을 위아래나 좌우 같은 그림 속 위치로 외우기 때문이다. 기준이 되는 각이 정해지면 그 각과 마주 보는 변과 이웃한 변이 정해지고, 빗변은 직각과 마주 보는 변으로 늘 같다. 사인은 마주 보는 변을 빗변으로, 코사인은 이웃한 변을 빗변으로, 탄젠트는 마주 보는 변을 이웃한 변으로 나눈 값이다.
2. 삼각형이 크면 삼각비의 값도 커진다고 본다. 변의 길이가 달라지면 비도 달라질 것이라고 생각하기 때문이다. 한 각의 크기가 같은 직각삼각형들은 서로 닮음이므로 대응하는 변의 비가 모두 같다. 삼각비의 값은 삼각형의 크기와 관계없이 각의 크기에 의해서만 정해진다.
3. 각이 커지면 세 삼각비가 모두 함께 커진다고 본다. 각과 값이 나란히 커지는 표의 첫 줄만 기억하기 때문이다. 0도와 90도 사이에서 각이 커지면 사인과 탄젠트의 값은 커지지만 코사인의 값은 오히려 작아진다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

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