뿌리학습 · 중학 수학
삼각형·사각형의 성질, 도형의 닮음, 피타고라스 정리
도형의 성질은 외우는 것이 아니라 왜 그런지 따져 보는 것이다. 이 단원에서는 삼각형과 사각형이 가진 성질을 근거를 들어 설명하는 연습을 하고, 크기는 달라도 모양이 같은 도형들의 관계인 닮음을 배운다. 마지막에는 직각삼각형의 세 변 사이에 성립하는 피타고라스 정리를 다룬다.
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개념 정리
먼저 이등변삼각형이다. 두 변의 길이가 같은 삼각형에서는 두 밑각의 크기가 같고, 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분한다. 이런 성질은 삼각형의 합동 조건을 이용하면 참임을 보일 수 있는데, 이렇게 근거를 들어 참임을 밝히는 과정을 증명이라고 한다. 각의 크기를 묻는 문제에서는 두 밑각이 같다는 성질이, 길이를 묻는 문제에서는 수직이등분한다는 성질이 근거가 된다.
삼각형에는 특별한 점이 두 개 나온다. 세 변의 수직이등분선이 만나는 점이 외심이고, 세 각의 이등분선이 만나는 점이 내심이다. 외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있어 그 점을 중심으로 세 꼭짓점을 지나는 원을 그릴 수 있고, 내심은 세 변에서 같은 거리에 있어 세 변에 닿는 원을 그릴 수 있다. 위치도 다르다. 외심은 예각삼각형에서는 내부, 직각삼각형에서는 빗변의 중점, 둔각삼각형에서는 외부에 있지만 내심은 언제나 내부에 있다.
사각형의 성질은 대각선을 중심으로 정리하면 편하다. 평행사변형은 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하고, 직사각형은 여기에 더해 두 대각선의 길이가 같으며, 마름모는 두 대각선이 서로 수직이다. 정사각형은 직사각형의 조건과 마름모의 조건을 모두 갖추었으므로 두 대각선의 길이가 같으면서 서로 수직이다. 조건을 더 갖출수록 더 좁은 범위의 이름이 붙는다고 보면 사각형들 사이의 관계가 한눈에 들어온다.
이제 닮음이다. 한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소한 것이 다른 도형과 합동일 때 두 도형은 닮음이고, 대응하는 변의 길이의 비를 닮음비라고 한다. 닮은 도형에서는 대응하는 각의 크기가 같고 대응하는 변의 길이의 비가 모두 같다. 이때 대응은 꼭짓점을 적은 순서를 따르므로 짝을 함부로 바꾸면 안 된다. 두 삼각형이 닮음인지는 세 가지로 판별한다. 세 쌍의 대응변의 비가 모두 같을 때, 두 쌍의 대응변의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같을 때, 두 쌍의 대응각의 크기가 같을 때다. 각 두 쌍만으로 판별할 수 있다는 점이 합동 조건과 다르다.
닮음은 평행선과 만나면 힘을 발휘한다. 삼각형의 한 변에 평행한 직선이 삼각형의 내부에서 다른 두 변과 만나면 만들어지는 작은 삼각형과 원래 삼각형이 닮음이 되어, 대응하는 선분의 길이의 비가 같아진다. 닮음이 쓰이는 또 다른 예가 무게중심이다. 삼각형의 한 꼭짓점과 마주 보는 변의 중점을 이은 선분을 중선이라 하는데, 세 중선은 한 점에서 만나고 그 점이 각 중선을 꼭짓점 쪽에서부터 2 대 1로 나눈다. 이 점을 무게중심이라고 한다. 비를 세울 때는 닮은 두 삼각형을 따로 그려 같은 삼각형 안에서 짝이 되는 선분끼리 묶어야 한다. 한편 직각삼각형에서는 세 변 사이에 특별한 관계가 있다. 직각을 낀 두 변의 길이를 , 라 하고 직각과 마주 보는 빗변의 길이를 라 하면 이 성립하며, 이를 피타고라스 정리라고 한다. 예를 들어 두 변이 과 이면 빗변은 다. 거꾸로 세 변의 길이가 이 관계를 만족하면 그 삼각형은 직각삼각형이다.
이 단원의 내용은 다음 학년으로 곧장 이어진다. 닮음은 삼각비의 바탕이 되어, 각이 같은 직각삼각형의 변의 비가 언제나 같다는 사실로 연결된다. 피타고라스 정리는 제곱근을 배우면서 길이가 정수가 아닌 경우까지 넓어지고, 고등학교에서는 좌표평면 위 두 점 사이의 거리를 구하는 공식으로 다시 나타난다.
이 단원 시험에서 묻는 것
학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.
- [9수03-15]피타고라스 정리를 이해하고 정당화할 수 있다.
- [9수03-09]이등변삼각형의 성질을 이해하고 정당화할 수 있다.
- [9수03-10]삼각형의 외심과 내심의 성질을 이해하고 정당화할 수 있다.
- [9수03-11]사각형의 성질을 이해하고 정당화할 수 있다.
- [9수03-12]도형의 닮음의 뜻과 닮은 도형의 성질을 이해하고, 닮음비를 구할 수 있다.
- [9수03-13]삼각형의 닮음 조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 삼각형이 닮음인지 판별할 수 있다.
- [9수03-14]평행선 사이의 선분의 길이의 비를 구할 수 있다.
자주 하는 착각
삼각형의 성질
- 이등변삼각형에서 두 밑각의 크기가 같다는 것만 기억한다. 그림에 표시되는 것이 대개 두 각이기 때문이다. 이등변삼각형에서는 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분한다는 성질도 함께 성립한다. 길이를 묻는 문제에서는 이쪽 성질이 답의 근거가 되는 경우가 많다.
- 외심과 내심을 뒤바꾸어 쓴다. 이름이 비슷하고 둘 다 삼각형 안의 한 점으로 그려지기 때문이다. 외심은 세 변의 수직이등분선이 만나는 점으로 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있고, 내심은 세 각의 이등분선이 만나는 점으로 세 변에서 같은 거리에 있다. 무엇이 같은 거리인지가 두 점을 가르는 기준이다.
- 외심이 항상 삼각형의 내부에 있다고 본다. 교과서 그림이 대부분 예각삼각형이기 때문이다. 외심은 예각삼각형에서는 내부, 직각삼각형에서는 빗변의 중점, 둔각삼각형에서는 외부에 있다. 반면 내심은 어떤 삼각형에서도 내부에 있다.
사각형의 성질
- 평행사변형의 두 대각선이 서로 수직이라고 본다. 마름모나 정사각형의 그림을 평행사변형의 대표로 떠올리기 때문이다. 평행사변형에서 성립하는 것은 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다는 성질이다. 대각선이 수직인 것은 마름모, 길이가 같은 것은 직사각형의 성질이다.
- 정사각형은 직사각형이나 마름모가 아니라고 본다. 이름이 다르면 다른 도형이라고 생각하기 때문이다. 정사각형은 직사각형의 조건과 마름모의 조건을 모두 갖춘 사각형이다. 조건을 더 갖출수록 좁은 범위의 이름이 붙는다고 이해하면 사각형 사이의 관계가 정리된다.
도형의 닮음
- 닮은 두 도형에서 대응하는 변을 눈에 띄는 대로 짝짓는다. 길이가 비슷해 보이는 변끼리 묶으려 하기 때문이다. 닮음을 나타낼 때 꼭짓점을 적은 순서가 곧 대응 순서이므로, 그 순서에 맞는 변끼리 비를 세워야 한다. 순서를 어기면 닮음비 자체가 달라진다.
- 모양이 같은 종류의 도형이면 모두 닮음이라고 본다. 정사각형이나 원이 항상 닮음이라는 예만 기억하기 때문이다. 직사각형은 가로와 세로의 비가 다르면 닮음이 아니다. 대응하는 변의 비가 모두 같고 대응하는 각의 크기가 같아야 닮음이다.
- 삼각형의 닮음 조건과 합동 조건을 섞어 쓴다. 두 조건의 이름과 모양이 닮아 보이기 때문이다. 닮음은 세 쌍의 대응변의 비가 모두 같을 때, 두 쌍의 대응변의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같을 때, 두 쌍의 대응각의 크기가 같을 때 성립한다. 각 두 쌍만으로 닮음이라고 말할 수 있다는 점이 합동과 다르다.
- 평행선 사이의 선분의 길이의 비를 세울 때 서로 다른 삼각형의 선분끼리 비를 만든다. 그림에 선분이 많아 어느 것이 짝인지 보이지 않기 때문이다. 평행선이 만드는 닮은 삼각형을 먼저 찾아 분리해 그린 뒤, 같은 삼각형 안에서 대응하는 선분끼리 비를 세워야 한다.
피타고라스 정리
- 피타고라스 정리를 직각삼각형이 아닌 삼각형에 쓰거나, 가장 긴 변이 아닌 변을 빗변으로 놓는다. 세 변의 길이가 주어지면 바로 식을 세우려 하기 때문이다. 피타고라스 정리는 직각삼각형에서만 성립하고, 빗변은 직각과 마주 보는 변이다. 거꾸로 세 변의 길이가 이 관계를 만족하면 그 삼각형은 직각삼각형이다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
이등변삼각형에서는 두 밑각의 크기가 같다는 성질만 성립한다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
그림 문제에서 이등변삼각형을 다룰 때 두 밑각이 같다는 표시가 눈에 잘 띄다 보니, 자연스럽게 그 성질만 기억하기 쉬워요. 실제로는 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분한다는 성질도 함께 성립하며, 길이를 구하는 문제에서는 이 성질이 풀이의 핵심 근거가 되는 경우가 많아요.
내심은 세 각의 이등분선이 만나는 점으로 세 변까지의 거리가 모두 같다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
외심과 내심은 이름이 비슷하고 둘 다 삼각형 내부의 한 점으로 표시되는 경우가 많아 서로 헷갈리기 쉬워요. 실제로는 세 각의 이등분선이 만나는 점은 내심이고, 외심은 세 변의 수직이등분선이 만나는 점이에요. 두 점을 구별하는 핵심은 '무엇까지의 거리가 같은가'인데, 외심은 세 꼭짓점까지의 거리가 같고, 내심은 세 변까지의 거리가 같아요.
삼각형의 외심은 삼각형의 종류에 상관없이 항상 삼각형의 내부에 있다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
교과서에 나오는 외심 그림이 대부분 예각삼각형을 기준으로 그려져 있어서 외심이 늘 삼각형 안에 있다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 삼각형의 종류에 따라 외심의 위치가 달라지는데, 예각삼각형에서는 내부, 직각삼각형에서는 빗변의 중점, 둔각삼각형에서는 삼각형의 외부에 놓여요. 반면 내심은 세 내각의 이등분선이 만나는 점으로, 어떤 삼각형에서도 항상 삼각형의 내부에 위치해요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
자주 묻는 질문
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반