도형의 닮음과 피타고라스 정리

이 단원 시험에서 묻는 것

• 닮음의 뜻과 대응. △ABC ∽ △DEF처럼 쓸 때 꼭짓점을 적은 순서가 대응 순서입니다. 닮은 도형은 대응하는 변의 길이의 비가 일정하고 대응하는 각의 크기가 같으며, 이 비가 닮음비입니다.
• 닮음비로 길이 구하기. 두 닮은 도형의 닮음비가 2 : 3이면 앞에 쓴 도형과 뒤에 쓴 도형의 대응하는 변의 길이의 비가 모두 2 : 3입니다. 대응하는 변을 확인한 뒤 비례식을 세워 모르는 변의 길이를 구합니다.
• 삼각형의 닮음 조건. 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같거나, 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같거나, 두 쌍의 대응각의 크기가 같으면 닮음입니다. 합동 조건과 달리 각 두 쌍만으로도 닮음을 판정할 수 있습니다.
• 직각삼각형 안의 닮음. 직각삼각형의 직각인 꼭짓점에서 빗변에 수선을 그으면 크고 작은 직각삼각형 세 개가 서로 닮음입니다. 이 닮음으로 선분의 길이를 구하는 문제가 자주 쓰입니다.
• 평행선 사이의 선분의 길이의 비. 삼각형의 한 변에 평행한 직선이 나머지 두 변과 만나면 두 변에서 대응하는 선분의 길이의 비가 같고, 특히 두 변의 중점을 이은 선분은 나머지 변과 평행하며 길이가 그 절반입니다. 세 개 이상의 평행선이 두 직선과 만나면 한 직선 위의 선분의 길이의 비와 다른 직선 위의 대응하는 선분의 길이의 비가 같습니다.
• 피타고라스 정리. 직각삼각형에서 빗변의 길이를 c, 나머지 두 변의 길이를 a, b라 하면 a² + b² = c²입니다. 빗변은 직각과 마주 보는 가장 긴 변이고, 이 관계는 직각삼각형에서만 성립합니다.
• 직각삼각형이 되는 조건. 세 변의 길이가 a, b, c(c가 가장 긴 변)일 때 a² + b² = c²이면 그 삼각형은 직각삼각형입니다. 세 변의 길이가 주어진 삼각형이 직각삼각형인지 판별하는 문제가 나옵니다.

자주 하는 착각

1. 닮은 두 도형에서 대응하는 변을 눈에 띄는 대로 짝짓는다. 길이가 비슷해 보이는 변끼리 묶으려 하기 때문이다. 닮음을 나타낼 때 꼭짓점을 적은 순서가 곧 대응 순서이므로, 그 순서에 맞는 변끼리 비를 세워야 한다. 순서를 어기면 닮음비 자체가 달라진다.
2. 삼각형의 닮음 조건과 합동 조건을 섞어 쓴다. 두 조건의 이름과 모양이 닮아 보이기 때문이다. 닮음은 세 쌍의 대응변의 비가 모두 같을 때, 두 쌍의 대응변의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같을 때, 두 쌍의 대응각의 크기가 같을 때 성립한다. 각 두 쌍만으로 닮음이라고 말할 수 있다는 점이 합동과 다르다.
3. 피타고라스 정리를 직각삼각형이 아닌 삼각형에 쓰거나, 가장 긴 변이 아닌 변을 빗변으로 놓는다. 세 변의 길이가 주어지면 바로 식을 세우려 하기 때문이다. 피타고라스 정리는 직각삼각형에서만 성립하고, 빗변은 직각과 마주 보는 변이다. 거꾸로 세 변의 길이가 이 관계를 만족하면 그 삼각형은 직각삼각형이다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

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