삼각형과 사각형의 성질

이 단원 시험에서 묻는 것

• 이등변삼각형의 성질. 두 밑각의 크기가 같고, 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분합니다. 이 성질로 각의 크기나 선분의 길이를 구하는 문제가 나옵니다.
• 이등변삼각형이 되는 조건. 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형입니다. 종이를 접은 그림처럼 같은 각이 생기는 상황에서 길이가 같은 변을 찾는 문제가 나옵니다.
• 삼각형의 외심. 세 변의 수직이등분선이 만나는 점으로, 세 꼭짓점까지의 거리가 같아 외접원의 중심이 됩니다. 예각삼각형에서는 내부, 직각삼각형에서는 빗변의 중점, 둔각삼각형에서는 외부에 있으므로, 직각삼각형의 외접원의 반지름은 빗변 길이의 절반입니다.
• 삼각형의 내심. 세 내각의 이등분선이 만나는 점으로, 세 변까지의 거리가 같아 내접원의 중심이 됩니다. 내접원의 반지름이 r이면 삼각형의 넓이는 ½ × r × (세 변의 길이의 합)입니다.
• 평행사변형의 성질과 조건. 평행사변형은 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같고, 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으며, 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분합니다(두 대각선이 서로의 중점에서 만납니다). 주어진 조건으로 사각형이 평행사변형인지 판별하는 문제가 나옵니다.
• 여러 가지 사각형의 관계. 직사각형은 두 대각선의 길이가 같고, 마름모는 두 대각선이 서로 수직이며, 정사각형은 두 성질을 모두 가집니다. 평행사변형에 "두 대각선의 길이가 같다", "두 대각선이 서로 수직이다" 같은 조건을 더하면 어떤 사각형이 되는지 묻는 문제가 나옵니다.

자주 하는 착각

1. 외심과 내심을 뒤바꾸어 쓴다. 이름이 비슷하고 둘 다 삼각형 안의 한 점으로 그려지기 때문이다. 외심은 세 변의 수직이등분선이 만나는 점으로 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있고, 내심은 세 각의 이등분선이 만나는 점으로 세 변에서 같은 거리에 있다. 무엇이 같은 거리인지가 두 점을 가르는 기준이다.
2. 외심이 항상 삼각형의 내부에 있다고 본다. 교과서 그림이 대부분 예각삼각형이기 때문이다. 외심은 예각삼각형에서는 내부, 직각삼각형에서는 빗변의 중점, 둔각삼각형에서는 외부에 있다. 반면 내심은 어떤 삼각형에서도 내부에 있다.
3. 평행사변형의 두 대각선이 서로 수직이라고 본다. 마름모나 정사각형의 그림을 평행사변형의 대표로 떠올리기 때문이다. 평행사변형에서 성립하는 것은 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다는 성질이다. 대각선이 수직인 것은 마름모, 길이가 같은 것은 직사각형의 성질이다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

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