뿌리학습 · 중학 수학
일차함수와 그래프
물건의 개수가 늘면 값이 따라서 정해지고, 시간이 흐르면 이동한 거리가 정해진다. 이처럼 한 양이 변할 때 다른 양이 그에 따라 하나씩 정해지는 관계를 함수라고 한다. 이 단원에서는 함수 가운데 가장 기본이 되는 일차함수를 배우고, 그 그래프가 방정식과 어떻게 이어지는지를 다룬다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
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개념 정리
두 변수 와 에 대해 의 값이 하나 정해지면 의 값이 오직 하나로 정해질 때 를 의 함수라 하고 로 나타낸다. 여기서 는 와 의 곱이 아니라 에 대응하는 값을 뜻하는 기호이며, 이 값을 함숫값이라 한다. 조건은 하나씩 정해진다는 것뿐이므로, 서로 다른 에 같은 가 대응해도 함수다. 반대로 하나에 가 둘 이상 대응하면 함수가 아니다.
함수 에서 가 에 대한 일차식으로 나타날 때, 곧 ()일 때 이를 일차함수라 한다. 가 이면 항이 사라지므로 이 조건이 필요하다. 일차함수의 그래프는 직선이며 두 수 와 가 그 모양을 정한다. 는 기울기로 가 늘어난 만큼에 대해 가 얼마나 늘었는지를 나타내고, 의 증가량을 의 증가량으로 나눈 값이다. 는 그래프가 축과 만나는 점의 좌표인 절편이다. 그래프가 축과 만나는 점의 좌표는 절편이라 하고 을 넣어 구한다. 라면 기울기는 , 절편은 , 절편은 다.
기울기의 부호는 그래프의 방향을 정한다. 이면 오른쪽 위로 향하며 가 커질 때 도 커지고, 이면 오른쪽 아래로 향한다. 절댓값이 클수록 직선이 가파르다. 두 일차함수의 그래프를 견줄 때도 기울기가 기준이 된다. 기울기가 같고 절편이 다르면 두 직선은 평행하고, 기울기와 절편이 모두 같으면 두 직선은 겹친다. 일차함수는 실생활을 나타내는 데도 쓰인다. 물이 일정한 빠르기로 채워지거나 온도가 일정하게 오르는 상황처럼 변화가 일정하면, 기울기가 변화의 빠르기를 나타내고 절편이 처음의 값을 나타낸다.
일차함수는 방정식과도 이어진다. 미지수가 개인 일차방정식 에서 와 가 모두 은 아니라고 하자. 이 방정식을 만족하는 순서쌍을 좌표평면에 나타내면 직선이 된다. 이면 이 식을 에 대해 풀어 일차함수의 꼴로 바꿀 수 있다. 인 경우는 다르다. 이때는 이므로 식이 꼴이 되어 그래프가 축에 평행한 직선이 되는데, 이때는 하나에 가 무수히 많이 대응하므로 함수가 아니다. 마찬가지로 꼴은 축에 평행한 직선이고 이것은 함수다.
두 일차방정식을 묶은 연립방정식의 해는 두 그래프가 만나는 점의 좌표다. 그래서 해의 개수를 두 직선의 위치 관계로 설명할 수 있다. 두 직선이 한 점에서 만나면 해가 하나이고, 기울기가 같고 절편이 달라 평행하면 만나지 않으므로 해가 없으며, 두 직선이 겹치면 해가 무수히 많다. 해가 없거나 무수히 많은 결과는 계산 실수가 아니라 그래프의 위치 관계가 만들어 낸 답이다.
여기서 익힌 관점은 이후 함수 단원 전체의 바탕이 된다. 중학교 3학년에서는 이차함수의 그래프를 같은 방식으로 읽게 되고, 고등학교에서는 두 집합 사이의 대응으로 함수의 뜻이 넓어진다. 기울기를 변화의 비율로 이해해 두면 미적분에서 순간의 변화율을 배울 때 그 연결이 자연스럽다.
이 단원 시험에서 묻는 것
학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.
- [9수02-16]일차함수의 그래프의 성질을 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.
- [9수02-14]함수의 개념을 이해하고, 함숫값을 구할 수 있다.
- [9수02-15]일차함수의 개념을 이해하고, 그 그래프를 그릴 수 있다.
- [9수02-17]일차함수와 미지수가 2개인 일차방정식의 관계를 설명할 수 있다.
- [9수02-18]두 일차함수의 그래프와 연립일차방정식의 관계를 설명할 수 있다.
자주 하는 착각
함수의 개념
- 식으로 나타낼 수 있어야 함수라고 본다. 함수를 계산식으로만 만나 왔기 때문이다. 함수는 한 양이 변할 때 다른 양이 하나씩 정해지는 대응 관계다. 표나 그래프로만 주어져도 그 관계가 성립하면 함수다.
- 서로 다른 x에 같은 y가 대응하면 함수가 아니라고 본다. 하나씩 대응한다는 말을 서로 다른 값이 짝지어진다는 뜻으로 읽기 때문이다. 조건은 x 하나에 y가 하나만 정해지는 것이다. 모든 x에 같은 y가 대응해도 함수다. 반대로 x 하나에 y가 둘이면 함수가 아니다.
- f(x)를 f와 x의 곱으로 읽는다. 문자끼리 나란히 붙어 있으면 곱으로 보던 습관 때문이다. f(x)는 x에 대응하는 함숫값을 나타내는 기호다. f(2)는 x에 2를 넣었을 때의 값이다.
일차함수와 그래프
- y=ax+b 꼴이면 모두 일차함수라고 본다. 식의 모양만 보기 때문이다. a가 0이면 x항이 사라져 일차함수가 아니므로 a≠0이라는 조건이 필요하다. 문자 계수가 있는 문제에서 이 조건을 먼저 확인해야 한다.
- 기울기를 x의 증가량을 y의 증가량으로 나눈 값으로 구한다. 분모와 분자를 정해 두지 않고 외웠기 때문이다. 기울기는 y의 증가량을 x의 증가량으로 나눈 값이고, 일차함수 y=ax+b에서 a와 같다.
- x절편과 y절편을 뒤바꾼다. 절편이라는 말만 기억하기 때문이다. y절편은 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표로 x가 0일 때의 값이고, x절편은 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표로 y가 0일 때의 값이다.
- 두 일차함수의 그래프가 평행할 조건에 y절편까지 같아야 한다고 본다. 같은 모양이면 모든 것이 같아야 한다고 생각하기 때문이다. 기울기가 같고 y절편이 다르면 두 그래프는 평행하다. 기울기와 y절편이 모두 같으면 두 그래프는 겹친다.
일차함수와 일차방정식
- 미지수가 2개인 일차방정식의 그래프가 직선이라는 점을 놓친다. 방정식은 해를 구하는 것이라고만 배웠기 때문이다. x와 y의 계수가 모두 0은 아닐 때 이 방정식을 만족하는 순서쌍을 좌표평면에 나타내면 직선이 되고, y의 계수가 0이 아니면 y에 대해 풀어 일차함수의 식으로 바꿀 수 있다.
- x=k 꼴의 그래프를 일차함수로 보거나 그리지 못한다. 모든 직선이 일차함수라고 생각하기 때문이다. x=k의 그래프는 y축에 평행한 직선인데, 이때는 x 하나에 y가 무수히 많이 대응하므로 함수가 아니다.
연립방정식과 그래프
- 연립방정식의 해가 없거나 무수히 많은 경우를 계산 실수로 본다. 해가 하나뿐인 문제만 풀어 왔기 때문이다. 두 일차방정식의 그래프가 평행하면 만나지 않으므로 해가 없고, 두 그래프가 겹치면 해가 무수히 많다. 해의 개수는 두 직선의 위치 관계로 설명된다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
함수는 반드시 식으로 나타낼 수 있어야 한다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
수업에서 함수를 주로 계산식의 형태로 접해 왔기 때문에, 식이 없으면 함수가 아니라고 생각하기 쉬워요. 실제로는 함수의 핵심은 '한 양이 변할 때 다른 양이 하나씩 정해지는 대응 관계'에 있어요. 그 관계가 표나 그래프로 표현되어 있어도, 대응 관계가 성립하면 충분히 함수라고 할 수 있어요.
서로 다른 x에 같은 y가 대응하더라도 함수일 수 있다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
'하나씩 대응한다'는 말을 서로 다른 값끼리만 짝지어져야 한다는 뜻으로 읽기 쉬워요. 실제로는 x 하나에 y가 하나만 정해지면 함수의 조건을 만족해요. 모든 x에 똑같은 y가 대응하는 경우도 x 하나에 y가 정확히 하나이므로 함수예요.
f(x)는 f와 x를 곱한 값을 나타내는 식이다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
수학에서 문자가 나란히 붙어 있으면 곱을 뜻하는 경우가 많아서, f(x)도 f와 x의 곱처럼 보이기 쉬워요. 실제로는 f(x)는 곱셈 기호가 아니라 'x를 넣었을 때 함수 f가 내놓는 값'을 나타내는 표기예요. 예를 들어 f(2)는 f와 2의 곱이 아니라, x 자리에 2를 넣었을 때의 함숫값을 의미해요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
자주 묻는 질문
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반