일차함수와 일차방정식의 관계

이 단원 시험에서 묻는 것

• 일차방정식을 일차함수의 식으로 바꾸기. 미지수가 2개인 일차방정식에서 x와 y의 계수가 모두 0이 아니면 y에 대해 풀어 일차함수의 식으로 나타낼 수 있습니다. 2x + y − 4 = 0은 y = −2x + 4가 되어 기울기 −2, y절편 4를 읽을 수 있습니다.
• 일차방정식의 그래프. 미지수가 2개인 일차방정식의 해를 좌표평면에 모두 나타내면 직선이 되고, 그 직선 위의 점의 좌표는 방정식의 해입니다. 주어진 점이 그래프 위에 있을 때 미지수의 값을 구하는 문제가 나옵니다.
• 좌표축에 평행한 직선. x = k의 그래프는 y축에 평행한 직선으로 x 하나에 y가 여러 개 대응하므로 함수가 아니고, y = k의 그래프는 x축에 평행한 직선입니다. 이런 직선들로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문제가 나옵니다.
• 연립방정식의 해와 교점. 연립일차방정식의 해는 두 일차방정식의 그래프가 만나는 점의 좌표와 같습니다. 교점의 좌표가 주어지면 그 좌표를 두 방정식에 각각 넣어 모르는 계수를 구합니다.
• 해의 개수와 두 그래프의 위치 관계. 두 직선이 한 점에서 만나면 해가 하나, 평행하면 해가 없고, 겹치면 해가 무수히 많습니다. 두 식을 y = ax + b 꼴로 나타낼 수 있으면 기울기와 y절편을 비교해 판단합니다.
• 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이. 두 직선과 x축 또는 y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 교점과 절편의 좌표로 밑변과 높이를 구해 계산합니다. 밑변과 높이는 서로 수직인 선분으로 잡습니다.

자주 하는 착각

1. 미지수가 2개인 일차방정식의 그래프가 직선이라는 점을 놓친다. 방정식은 해를 구하는 것이라고만 배웠기 때문이다. x와 y의 계수가 모두 0은 아닐 때 이 방정식을 만족하는 순서쌍을 좌표평면에 나타내면 직선이 되고, y의 계수가 0이 아니면 y에 대해 풀어 일차함수의 식으로 바꿀 수 있다.
2. x=k 꼴의 그래프를 일차함수로 보거나 그리지 못한다. 모든 직선이 일차함수라고 생각하기 때문이다. x=k의 그래프는 y축에 평행한 직선인데, 이때는 x 하나에 y가 무수히 많이 대응하므로 함수가 아니다.
3. 연립방정식의 해가 없거나 무수히 많은 경우를 계산 실수로 본다. 해가 하나뿐인 문제만 풀어 왔기 때문이다. 두 일차방정식의 그래프가 평행하면 만나지 않으므로 해가 없고, 두 그래프가 겹치면 해가 무수히 많다. 해의 개수는 두 직선의 위치 관계로 설명된다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

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