함수와 일차함수의 그래프

이 단원 시험에서 묻는 것

• 함수인지 판단하기. x의 값 하나에 y의 값이 하나만 정해지면 함수입니다. 표·그래프·문장으로 주어진 관계를 판단하는 문제가 나오며, 서로 다른 x에 같은 y가 대응해도 함수이고 x 하나에 y가 둘 이상이면 함수가 아닙니다.
• 함숫값 구하기. f(x) = 2x − 1이면 f(3) = 5처럼 x에 값을 넣어 구합니다. 반대로 f(a) = 7처럼 함숫값이 주어지면 식을 세워 a를 구합니다.
• 일차함수인지 판별하기. 식을 정리했을 때 y = ax + b (a ≠ 0) 꼴이어야 일차함수입니다. y = x(x + 1) − x²처럼 정리하면 y = x가 되는 식도 있으니 먼저 정리한 뒤 판단합니다.
• 그래프 그리기와 평행이동. y = ax + b (a ≠ 0)의 그래프는 y = ax의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 직선입니다. 그래프 위의 서로 다른 두 점을 찍어 그리며, 두 절편을 쓸 때 b = 0이면 두 절편이 모두 원점이므로 다른 점을 하나 더 찾습니다.
• 기울기와 절편. 기울기는 (y의 증가량) ÷ (x의 증가량)이고 y = ax + b에서 a와 같습니다. y절편은 x = 0일 때의 y의 값 b이고, x절편은 y = 0을 넣어 구한 x의 값입니다.
• 그래프의 성질. 일차함수 y = ax + b에서 a > 0이면 오른쪽 위로, a < 0이면 오른쪽 아래로 향하는 직선이고, a의 절댓값이 클수록 y축에 가깝습니다. 기울기가 같고 y절편이 다르면 두 그래프는 평행하고, 기울기와 y절편이 모두 같으면 겹칩니다.
• 식 구하기와 활용. 기울기와 한 점, 두 점, 또는 두 절편이 주어지면 식을 구하고, 표나 그래프로 주어진 관계도 식으로 바꿔 나타냅니다. 물의 양·온도·요금처럼 일정한 비율로 변하는 상황을 y = ax + b로 나타내고, x와 y의 값이 문제의 조건에 맞는지 확인합니다.

자주 하는 착각

1. 서로 다른 x에 같은 y가 대응하면 함수가 아니라고 본다. 하나씩 대응한다는 말을 서로 다른 값이 짝지어진다는 뜻으로 읽기 때문이다. 조건은 x 하나에 y가 하나만 정해지는 것이다. 모든 x에 같은 y가 대응해도 함수다. 반대로 x 하나에 y가 둘이면 함수가 아니다.
2. 기울기를 x의 증가량을 y의 증가량으로 나눈 값으로 구한다. 분모와 분자를 정해 두지 않고 외웠기 때문이다. 기울기는 y의 증가량을 x의 증가량으로 나눈 값이고, 일차함수 y=ax+b에서 a와 같다.
3. x절편과 y절편을 뒤바꾼다. 절편이라는 말만 기억하기 때문이다. y절편은 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표로 x가 0일 때의 값이고, x절편은 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표로 y가 0일 때의 값이다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

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