뿌리학습 · 중학 수학
식의 계산, 일차부등식과 연립방정식
중학교 1학년에서 문자를 사용한 식과 일차방정식을 배웠다. 2학년에서는 그 식을 훨씬 더 자유롭게 다루는 법을 익힌다. 지수가 붙은 식을 규칙에 따라 정리하고, 항이 여러 개인 다항식을 계산하며, 등호 대신 부등호가 놓인 부등식과 미지수가 두 개인 연립방정식을 푸는 방법까지 배운다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
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개념 정리
먼저 지수법칙이다. 밑이 같은 거듭제곱끼리 곱하면 지수를 더해서 이고, 거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수를 곱해서 이다. 두 규칙을 섞지 않으려면 괄호가 있는지부터 봐야 한다. 나눗셈은 밑이 이 아닐 때 경우를 나눈다. 이면 , 이면 , 이면 이다. 중학교에서 다루는 지수는 자연수이므로 지수가 이나 음수인 표현은 쓰지 않는다. 곱의 거듭제곱에서는 괄호 안의 모든 인수에 지수가 붙으므로 이다. 계수를 빠뜨리기 쉬운 자리다.
다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항끼리 모으는 일이다. 문자와 차수가 모두 같아야 동류항이므로 과 는 합칠 수 없다. 괄호가 있으면 먼저 푸는데, 괄호 앞의 음의 부호는 괄호 안 모든 항의 부호를 바꾼다. 곱셈과 나눗셈도 다룬다. 단항식과 다항식의 곱은 분배법칙으로 각 항에 곱하고, 다항식을 단항식으로 나눌 때는 각 항을 모두 나눈다. 는 가 이 아닐 때 두 항을 각각 나누어 가 된다.
이제 부등식이다. 두 수나 식의 대소를 부등호로 나타낸 식이 부등식이고, 이를 참이 되게 하는 미지수의 값이 부등식의 해다. 부등식에도 성질이 있다. 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호의 방향은 그대로이고, 양변에 같은 양수를 곱하거나 양수로 나누어도 그대로다. 그런데 음수를 곱하거나 음수로 나누면 방향이 반대가 된다. 이 한 가지가 부등식과 방정식의 가장 큰 차이다.
일차부등식은 이 성질로 푼다. 이라면 양변에 를 더해 , 양변을 으로 나누어 이다. 계수가 음수인 경우에는 방향이 바뀌어서 이면 양변을 로 나누어 이 된다. 활용 문제에서는 답을 고르는 단계가 남아 있다. 사람 수나 개수처럼 자연수여야 하는 양이라면 구한 범위 안에서 조건에 맞는 값을 골라야 하고, 문제의 '이상'과 '초과'를 구분해 부등호를 정해야 한다.
미지수가 두 개인 일차방정식 두 개를 한 쌍으로 묶은 것이 연립일차방정식이다. 두 식을 동시에 만족하는 와 의 순서쌍이 해다. 푸는 방법은 두 가지다. 한 문자의 계수를 맞춘 뒤 두 식을 더하거나 빼서 그 문자를 없애는 가감법과, 한 식을 한 문자에 대해 정리해 다른 식에 넣는 대입법이다. 가감법에서 계수를 맞추려고 수를 곱할 때는 반드시 양변에 곱해야 한다. 그리고 한 문자를 구한 뒤 나머지 문자까지 구해 순서쌍으로 답해야 한다. 예를 들어 와 은 두 식을 더해 , 곧 이고 이므로 해는 다.
여기서 익힌 식의 계산은 이후 모든 단원의 도구가 된다. 지수법칙은 중학교 3학년의 다항식의 곱셈과 인수분해로 이어지고, 연립방정식의 해는 다음 단원에서 두 일차함수의 그래프가 만나는 점으로 다시 해석된다. 부등식의 성질은 고등학교의 여러 가지 부등식에서 그대로 쓰인다.
이 단원 시험에서 묻는 것
학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.
- [9수02-08]지수법칙을 이해하고, 이를 이용하여 식을 간단히 할 수 있다.
- [9수02-09]다항식의 덧셈과 뺄셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.
- [9수02-10]'(단항식)× (다항식)', '(다항식)÷ (단항식)'과 같은 곱셈과 나눗셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.
- [9수02-11]부등식과 그 해의 뜻을 알고, 부등식의 성질을 설명할 수 있다.
- [9수02-12]일차부등식을 풀 수 있고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.
- [9수02-13]미지수가 2개인 연립일차방정식을 풀 수 있고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.
자주 하는 착각
지수법칙
- 같은 수의 거듭제곱끼리 곱할 때 지수를 곱한다. 곱셈이니 지수도 곱해야 한다고 생각하기 때문이다. 밑이 같은 거듭제곱의 곱셈에서는 지수를 더한다. 2의 제곱과 2의 세제곱을 곱하면 2를 모두 다섯 번 곱한 것이므로 2의 다섯제곱이다. 지수가 곱셈으로 바뀌는 것은 거듭제곱을 다시 거듭제곱할 때다.
- 거듭제곱을 다시 거듭제곱하는 경우와 거듭제곱끼리 곱하는 경우를 구분하지 않는다. 식의 모양이 비슷해 보이기 때문이다. 괄호로 묶인 거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수를 곱하고, 밑이 같은 거듭제곱끼리 곱하면 지수를 더한다. 어느 쪽인지 괄호를 보고 먼저 가려야 한다.
- 나눗셈에서 지수를 뺀 결과가 0이나 음수가 되어도 그대로 쓴다. 뺄셈 규칙만 외웠기 때문이다. 밑이 0이 아닐 때, 중학교에서 다루는 지수는 자연수이므로 지수가 같으면 결과는 1이고 나누는 쪽의 지수가 더 크면 분수 꼴로 나타낸다. 세 경우를 나누어 판단해야 한다.
- 곱의 거듭제곱에서 계수를 빠뜨린다. 문자에만 지수가 붙는다고 보기 때문이다. 괄호 안의 모든 인수에 지수가 똑같이 적용되므로 2x를 세제곱하면 8x³이다. 계수 2도 세 번 곱해야 한다.
다항식의 계산
- 차수가 다른 항을 동류항으로 보고 합친다. 문자가 같으면 묶을 수 있다고 생각하기 때문이다. 문자와 차수가 모두 같아야 동류항이다. x²과 x는 문자가 같아도 차수가 달라 더 이상 간단히 할 수 없다.
- 괄호 앞에 음의 부호가 있을 때 첫 항의 부호만 바꾼다. 부호를 한 번만 처리하면 된다고 여기기 때문이다. 괄호 앞의 음의 부호는 괄호 안 모든 항의 부호를 바꾼다. 항이 세 개면 세 항 모두 바뀐다.
- 다항식을 단항식으로 나눌 때 첫 항만 나눈다. 분수 꼴로 쓴 뒤 분자의 앞부분만 계산하기 때문이다. 분자의 각 항을 모두 분모로 나누어야 한다. 항이 세 개면 세 번 나눈 결과를 더한다.
일차부등식
- 부등식의 양변을 음수로 곱하거나 나눌 때 부등호의 방향을 그대로 둔다. 등식에서 하던 계산을 그대로 옮기기 때문이다. 양변에 음수를 곱하거나 음수로 나누면 부등호의 방향이 반대가 된다. 양수일 때는 방향이 그대로다.
- 활용 문제에서 구한 범위를 그대로 답으로 쓴다. 부등식을 풀면 끝이라고 생각하기 때문이다. 개수나 사람 수처럼 자연수여야 하는 양이라면 범위 안의 값 중 조건에 맞는 것을 골라야 한다. '이상'과 '초과', '이하'와 '미만'의 차이도 답을 가른다.
연립일차방정식
- 가감법에서 한 식의 한쪽 변에만 수를 곱한다. 없애려는 문자의 계수만 맞추면 된다고 보기 때문이다. 등식이 유지되려면 양변에 똑같이 곱해야 한다. 또 한 문자를 구한 뒤에는 다른 문자까지 구해 순서쌍으로 답해야 한다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
밑이 같은 거듭제곱끼리 곱할 때는 지수를 곱한다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
곱셈이라는 연산을 지수에도 그대로 적용해야 한다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 예를 들어 2의 제곱 곱하기 2의 세제곱을 계산하면 2를 다섯 번 곱한 것이므로 2의 다섯제곱, 즉 지수끼리 더한 결과가 돼요. 지수끼리 곱하는 경우는 거듭제곱을 다시 거듭제곱할 때 적용되는 규칙이에요.
괄호로 묶인 거듭제곱을 다시 거듭제곱할 때는 지수를 곱하고, 밑이 같은 거듭제곱끼리 곱할 때는 지수를 더한다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
두 경우 모두 지수와 관련된 계산이고 식의 모양이 비슷해 보이기 때문에 같은 방법을 쓰면 된다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 괄호가 있는지 없는지에 따라 계산 방법이 달라져요. 괄호로 묶인 거듭제곱을 다시 거듭제곱하는 경우에는 지수끼리 곱하고, 밑이 같은 거듭제곱끼리 곱하는 경우에는 지수끼리 더하는 것이 맞아요.
나눗셈에서 지수를 빼면 결과가 0이나 음수가 되더라도 그 값을 지수로 그대로 쓸 수 있다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
뺄셈 규칙만 외우면 지수가 같을 때나 나누는 쪽의 지수가 더 클 때도 그냥 빼면 된다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 밑이 0이 아닐 때 중학교에서 다루는 지수는 자연수이므로, 지수가 같으면 결과는 1이고 나누는 쪽의 지수가 더 크면 분수 꼴로 나타내야 해요. 따라서 지수를 뺀 결과가 0인 경우, 음수인 경우, 양수인 경우 세 가지를 나누어 판단하는 것이 맞아요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
자주 묻는 질문
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반