지수법칙과 다항식의 계산

이 단원 시험에서 묻는 것

• 지수법칙(곱셈과 거듭제곱). 밑이 같은 거듭제곱끼리 곱하면 지수를 더해 a² × a³ = a⁵이고, 거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수를 곱해 (a²)³ = a⁶입니다. 식에 괄호가 있는지부터 보고 어느 규칙인지 가립니다.
• 지수법칙(나눗셈). a ≠ 0일 때 a⁵ ÷ a² = a³, a² ÷ a² = 1, a² ÷ a⁵ = 1/a³처럼 두 지수의 크기에 따라 세 경우로 나눕니다. 중학교에서는 지수를 자연수로만 쓰므로 a⁰이나 a⁻³처럼 쓰지 않고 1이나 1/a³으로 나타냅니다.
• 곱의 거듭제곱. 괄호 안의 모든 인수에 지수가 붙으므로 (2x)³ = 8x³이고, (−x²)³ = −x⁶처럼 음의 부호도 지수만큼 곱해집니다. 계수와 부호를 빠뜨리지 않았는지 확인합니다.
• 단항식의 곱셈과 나눗셈. 계수는 계수끼리, 같은 문자는 같은 문자끼리 계산하고, 나눗셈은 나누는 식이 0이 아닐 때 그 역수를 곱하는 꼴로 바꿔 계산합니다. 곱셈과 나눗셈만 섞여 있으면 앞에서부터 차례로 계산합니다.
• 다항식의 덧셈과 뺄셈. 문자와 차수가 모두 같은 동류항끼리 모아 계산하고, x²과 x처럼 차수가 다르면 합칠 수 없습니다. 괄호 앞에 음의 부호가 있으면 괄호 안 모든 항의 부호를 바꿉니다.
• 단항식과 다항식의 곱셈·나눗셈. 2x(3x − 1) = 6x² − 2x처럼 분배법칙으로 각 항에 곱합니다. 다항식을 단항식으로 나눌 때는 (6x² + 4x) ÷ 2x = 3x + 2 (x ≠ 0)처럼 각 항을 모두 나눕니다.
• 식의 값과 식의 대입. 식을 먼저 간단히 한 뒤 문자에 수를 넣어 값을 구합니다. y = 2x − 1처럼 한 문자를 다른 문자의 식으로 나타낸 것을 넣어 x만의 식으로 정리하는 문제도 나옵니다.

자주 하는 착각

1. 같은 수의 거듭제곱끼리 곱할 때 지수를 곱한다. 곱셈이니 지수도 곱해야 한다고 생각하기 때문이다. 밑이 같은 거듭제곱의 곱셈에서는 지수를 더한다. 2의 제곱과 2의 세제곱을 곱하면 2를 모두 다섯 번 곱한 것이므로 2의 다섯제곱이다. 지수가 곱셈으로 바뀌는 것은 거듭제곱을 다시 거듭제곱할 때다.
2. 괄호 앞에 음의 부호가 있을 때 첫 항의 부호만 바꾼다. 부호를 한 번만 처리하면 된다고 여기기 때문이다. 괄호 앞의 음의 부호는 괄호 안 모든 항의 부호를 바꾼다. 항이 세 개면 세 항 모두 바뀐다.
3. 다항식을 단항식으로 나눌 때 첫 항만 나눈다. 분수 꼴로 쓴 뒤 분자의 앞부분만 계산하기 때문이다. 분자의 각 항을 모두 분모로 나누어야 한다. 항이 세 개면 세 번 나눈 결과를 더한다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

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