뿌리학습 · 중학 수학
소인수분해, 정수와 유리수
중학교에서 만나는 첫 단원은 수를 다시 정리하는 단원이다. 초등학교에서 다루던 자연수를 소인수분해로 쪼개어 보고, 0보다 작은 수인 음수를 새로 만나 수의 범위를 정수와 유리수까지 넓힌다. 여기서 익히는 부호 계산은 앞으로 배우게 될 문자와 식, 방정식을 다루는 데 바탕이 되므로 처음부터 정확하게 익혀 두어야 한다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
15일 무료 · 끝나도 자동 결제 없음 · 이후 월 결제 9,800원부터
개념 정리
먼저 자연수를 쪼개 보자. 1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자기 자신뿐인 수를 소수라 하고, 1보다 큰 자연수 가운데 소수가 아닌 수를 합성수라고 한다. 은 약수가 하나뿐이므로 소수도 합성수도 아니다. 그리고 는 짝수이지만 소수이고, 는 홀수이지만 합성수다. 짝수인지 홀수인지가 아니라 약수가 몇 개인지가 기준이다.
같은 수를 여러 번 곱한 것은 거듭제곱으로 간단히 쓴다. 를 으로 쓰고, 이때 곱해지는 수 를 밑, 곱한 횟수 을 지수라고 한다. 은 이 아니라 이다. 이제 자연수를 소수들의 곱으로만 나타내 보자. 이를 소인수분해라고 하며, 예를 들어 다. 어떤 소수로 먼저 나누든 결과에 나오는 소인수의 종류와 개수는 같으므로, 곱하는 순서를 빼면 소인수분해한 결과는 한 가지뿐이다.
소인수분해를 하면 공약수와 공배수를 쉽게 찾을 수 있다. 최대공약수는 공통인 소인수만 골라 지수가 작은 쪽을 택해 곱하고, 최소공배수는 나오는 모든 소인수를 지수가 큰 쪽을 택해 곱한다. 과 이라면 최대공약수는 , 최소공배수는 이다. 공약수는 두 수를 모두 나누어야 하므로 지수가 두 수의 지수보다 클 수 없고, 공배수는 두 수의 배수여야 하므로 지수가 두 수의 지수보다 작을 수 없다고 이해하면 뒤바뀌지 않는다. 최대공약수가 인 두 자연수는 서로소라고 하는데, 과 처럼 둘 다 합성수여도 공약수가 뿐이면 서로소다.
이제 수의 범위를 넓힐 차례다. 영하 3도나 해수면보다 낮은 높이처럼 기준보다 작은 쪽을 나타내려면 보다 작은 수가 필요하다. 보다 큰 수를 양수, 작은 수를 음수라 하고, 자연수에 음의 부호를 붙인 수와 , 자연수를 합쳐 정수라고 한다. 그리고 분모가 이 아닌 분수 꼴로 나타낼 수 있는 수를 유리수라고 한다.
수직선을 그리면 크기를 비교하기 쉽다. 오른쪽에 있는 수가 더 큰 수이므로 음수는 언제나 양수보다 작고, 음수끼리는 원점에서 멀수록 작다. 그래서 이다. 수직선에서 원점까지의 거리를 절댓값이라고 하며 거리이므로 항상 이상이다. 계산에서 가장 조심할 곳은 부호다. 어떤 수를 빼는 것은 그 수의 부호를 바꾸어 더하는 것과 같아서 이고, 곱셈과 나눗셈에서는 음수가 짝수 개면 결과가 양수, 홀수 개면 음수가 된다. 또 이지만 이므로 괄호를 반드시 확인해야 한다.
이 단원의 내용은 이후 모든 계산의 기초가 된다. 부호가 있는 수의 계산이 익숙해져야 문자를 사용한 식과 일차방정식을 다룰 수 있고, 소인수분해는 중학교 3학년의 인수분해로 이어진다. 수의 범위도 계속 넓어져서 중학교 3학년에서는 분수로 나타낼 수 없는 무리수까지 배우게 된다.
이 단원 시험에서 묻는 것
학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.
- [9수01-01]소인수분해의 뜻을 알고, 자연수를 소인수분해 할 수 있다.
- [9수01-02]소인수분해를 이용하여 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있다.
- [9수01-03]다양한 상황을 이용하여 음수의 필요성을 인식하고, 양수와 음수, 정수와 유리수의 개념을 이해한다.
- [9수01-04]정수와 유리수의 대소 관계를 판단할 수 있다.
- [9수01-05]정수와 유리수의 사칙계산의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.
자주 하는 착각
소수와 소인수분해
- 1을 소수로 본다. 1은 나누어지는 수가 자기 자신뿐이라고 생각하기 때문이다. 소수는 1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자기 자신 두 개뿐인 수다. 1은 약수가 1 하나뿐이므로 소수도 아니고 합성수도 아니다.
- 짝수는 모두 합성수이고 홀수는 모두 소수라고 본다. 2를 빼면 짝수가 모두 합성수인 것이 맞기 때문이다. 2는 짝수이면서 소수이고, 9나 15처럼 홀수이면서 합성수인 수도 많다. 홀짝이 아니라 약수의 개수가 기준이다.
- 거듭제곱에서 지수와 밑을 곱한다. 2의 세제곱을 2 곱하기 3으로 읽기 때문이다. 2의 세제곱은 2를 세 번 곱한 8이다. 밑은 곱해지는 수이고 지수는 곱한 횟수를 나타낸다.
- 소인수분해한 결과가 사람마다 다를 수 있다고 본다. 나누는 순서를 다르게 하면 과정이 달라 보이기 때문이다. 1보다 큰 자연수는 어떤 소수로 먼저 나누든 소인수의 종류와 개수가 같으므로, 곱하는 순서만 빼면 소인수분해한 결과는 한 가지뿐이다.
- 최대공약수와 최소공배수를 반대로 구한다. 두 용어가 함께 나와 헷갈리기 때문이다. 소인수분해를 이용할 때 최대공약수는 공통인 소인수를 지수가 작은 쪽으로, 최소공배수는 모든 소인수를 지수가 큰 쪽으로 택해 곱한다. 공약수는 두 수를 모두 나누어야 하므로 각 소인수의 지수가 두 수의 지수보다 클 수 없고, 공배수는 두 수의 배수여야 하므로 각 소인수의 지수가 두 수의 지수보다 작을 수 없다. 이유까지 알아 두면 뒤바뀌지 않는다.
정수와 유리수
- 음수는 양수보다 언제나 작다는 것은 알지만 음수끼리의 대소를 뒤바꾼다. 수의 크기를 숫자 부분만 보고 판단하기 때문이다. 수직선에서 오른쪽에 있을수록 큰 수다. 음수는 절댓값이 클수록 왼쪽에 있으므로 더 작다. 따라서 −5는 −3보다 작다.
- 절댓값을 부호를 떼는 방법으로만 외운다. 계산 규칙으로만 배우기 때문이다. 절댓값은 수직선에서 그 수가 원점에서 떨어진 거리이므로 항상 0 이상이다. 거리로 이해하면 절댓값이 같은 수가 두 개인 까닭도 설명할 수 있다.
- 음수를 빼는 계산에서 부호를 하나만 바꾼다. 빼기와 음의 부호를 같은 것으로 보기 때문이다. 어떤 수를 빼는 것은 그 수의 부호를 바꾸어 더하는 것과 같다. 그래서 3에서 −2를 빼면 3에 2를 더한 5가 된다.
- 음수의 거듭제곱에서 괄호의 유무를 무시한다. 제곱하면 무조건 양수가 된다고 기억하기 때문이다. −2의 제곱을 괄호로 묶은 것은 −2를 두 번 곱한 4이지만, 괄호 없이 쓴 것은 2를 두 번 곱한 뒤 음의 부호를 붙인 −4다. 괄호가 있는지에 따라 답이 달라진다.
- 나눗셈에서도 곱셈처럼 순서를 바꾸어도 된다고 본다. 곱셈의 교환법칙을 배운 뒤 나눗셈에도 그대로 옮기기 때문이다. 나눗셈에는 교환법칙이 성립하지 않아 일반적으로 순서를 바꾸면 결과가 달라진다. 역수를 곱하는 꼴로 바꾸면 곱셈의 성질을 그대로 쓸 수 있다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
1은 약수가 자기 자신뿐이므로 소수이다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
1의 약수는 1뿐이라는 사실 때문에 '자기 자신으로만 나누어지는 수'라고 떠올려 소수로 분류하기 쉬워요. 그런데 소수는 '1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자기 자신, 딱 두 개뿐인 수'로 정의되기 때문에, 약수가 하나뿐인 1은 이 조건을 충족하지 못해요. 실제로 1은 소수도 아니고 합성수도 아닌, 별도로 구분되는 수예요.
2는 짝수이지만 소수이고, 9나 15처럼 홀수이면서 합성수인 수도 있다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
2를 제외한 짝수는 모두 합성수가 맞기 때문에 '짝수 = 합성수'라는 생각이 자연스럽게 이어져, 반대로 홀수는 모두 소수일 것이라고 여기기 쉬워요. 실제로는 2가 짝수이면서 소수인 예외가 있고, 홀수 중에서도 9(=3×3)나 15(=3×5)처럼 약수가 3개 이상인 합성수가 존재해요. 소수와 합성수를 구분하는 기준은 홀짝이 아니라 약수의 개수이므로, 약수가 정확히 2개인 수가 소수예요.
2의 세제곱은 2와 3을 곱한 6이다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
2의 세제곱을 '2 곱하기 3'으로 읽다 보면 그대로 2×3=6으로 계산하기 쉬워요. 실제로는 지수가 밑을 곱하는 횟수를 나타내기 때문에, 2의 세제곱은 2×2×2=8이에요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
자주 묻는 질문
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반