소인수분해와 최대공약수·최소공배수

이 단원 시험에서 묻는 것

• 소수와 합성수. 1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자기 자신뿐인 수가 소수이고, 약수가 3개 이상인 수가 합성수입니다. 1은 소수도 합성수도 아니며, 2는 짝수인 유일한 소수입니다.
• 거듭제곱. 같은 수를 여러 번 곱한 것을 2³처럼 밑과 지수로 나타내며, 2³은 2를 세 번 곱한 8입니다. 소인수분해한 결과는 같은 소인수를 거듭제곱으로 묶어 씁니다.
• 소인수분해. 1보다 큰 자연수를 소인수만의 곱으로 나타내는 것으로, 60 = 2² × 3 × 5입니다. 어떤 소수로 먼저 나누든 소인수를 적는 순서는 달라질 수 있지만, 소인수와 각 소인수의 지수는 같습니다.
• 소인수분해의 활용. 자연수를 소인수분해하면 약수를 빠짐없이 찾을 수 있고, 어떤 자연수에 가장 작은 자연수를 곱해 제곱수가 되게 하는 문제도 나옵니다. 제곱수가 되려면 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 짝수여야 합니다.
• 최대공약수. 소인수분해한 뒤 공통인 소인수를 지수가 작은 쪽으로 골라 곱합니다. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²이면 최대공약수는 2 × 3 = 6입니다.
• 최소공배수. 소인수분해한 뒤 모든 소인수를 지수가 큰 쪽으로 골라 곱합니다. 12와 18의 최소공배수는 2² × 3² = 36입니다.
• 최대공약수와 최소공배수의 활용. 물건을 남김없이 똑같은 크기의 묶음으로 나누면서 묶음을 가장 크게 하려면 최대공약수를 씁니다. 일정한 간격으로 반복되는 일들이 같은 시점에 시작해 다시 동시에 일어나는 때를 구할 때는 최소공배수를 씁니다.

자주 하는 착각

1. 1을 소수로 본다. 1은 나누어지는 수가 자기 자신뿐이라고 생각하기 때문이다. 소수는 1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자기 자신 두 개뿐인 수다. 1은 약수가 1 하나뿐이므로 소수도 아니고 합성수도 아니다.
2. 거듭제곱에서 지수와 밑을 곱한다. 2의 세제곱을 2 곱하기 3으로 읽기 때문이다. 2의 세제곱은 2를 세 번 곱한 8이다. 밑은 곱해지는 수이고 지수는 곱한 횟수를 나타낸다.
3. 최대공약수와 최소공배수를 반대로 구한다. 두 용어가 함께 나와 헷갈리기 때문이다. 소인수분해를 이용할 때 최대공약수는 공통인 소인수를 지수가 작은 쪽으로, 최소공배수는 모든 소인수를 지수가 큰 쪽으로 택해 곱한다. 공약수는 두 수를 모두 나누어야 하므로 각 소인수의 지수가 두 수의 지수보다 클 수 없고, 공배수는 두 수의 배수여야 하므로 각 소인수의 지수가 두 수의 지수보다 작을 수 없다. 이유까지 알아 두면 뒤바뀌지 않는다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

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