뿌리학습 · 중학 수학
문자와 식, 일차방정식
수만으로는 나타내기 어려운 상황이 있다. 한 자루에 500원인 연필을 여러 자루 살 때의 값처럼, 수가 정해지지 않은 자리를 문자로 두면 상황 전체를 식 하나로 쓸 수 있다. 이 단원에서는 문자를 사용해 식을 세우고 간단히 하는 방법을 배우고, 이어서 그 식을 이용해 모르는 값을 찾아내는 일차방정식을 다룬다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
15일 무료 · 끝나도 자동 결제 없음 · 이후 월 결제 9,800원부터
개념 정리
문자를 쓸 때는 약속이 있다. 곱셈 기호는 생략하고 수를 문자 앞에 쓴다. 연필 자루의 값은 가 아니라 라고 쓴다. 다만 수와 수 사이의 곱셈 기호는 생략할 수 없다. 나눗셈은 분수 꼴로 바꾸어 쓴다. 문자에 수를 넣어 계산한 값을 식의 값이라고 하는데, 대입할 때는 생략된 곱셈 기호를 되살려야 한다. 에서 에 를 대입하면 이다. 음수를 대입할 때 괄호를 쓰면 부호 실수를 줄일 수 있다.
식을 다루려면 부르는 이름을 알아야 한다. 에서 덧셈으로 연결된 와 을 각각 항이라 하고, 문자에 곱해진 수 를 계수, 문자가 없는 항 을 상수항이라 한다. 문자가 곱해진 횟수는 차수이고, 차수가 인 식을 일차식이라고 한다. 문자와 차수가 모두 같은 항을 동류항이라 하는데, 식을 간단히 할 때는 동류항끼리만 더하거나 뺄 수 있다. 이지만 는 더 이상 간단히 할 수 없다. 괄호가 있으면 먼저 푼다. 이때 괄호 앞의 음의 부호는 괄호 안 모든 항의 부호를 바꾸므로 이다.
이제 방정식이다. 등호로 두 식을 이은 것이 등식인데, 그중 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 방정식이라 한다. 어떤 값을 넣어도 항상 참인 등식은 항등식이다. 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 해 또는 근이라 하고, 그 값을 찾는 일을 방정식을 푼다고 한다.
푸는 원리는 등식의 성질이다. 등식은 양변에 같은 수를 더하거나 빼도, 양변에 같은 수를 곱해도, 0이 아닌 같은 수로 나누어도 여전히 성립한다. 한쪽만 바꾸면 등식이 깨지므로 언제나 양변을 함께 손대야 한다. 이 성질을 줄여 쓴 것이 이항이다. 어떤 항을 다른 변으로 옮길 때 부호를 바꾸는 것은, 사실 양변에서 그 항을 빼거나 더한 결과이기 때문이다.
순서대로 풀어 보자. 에서 을 오른쪽으로 이항하면 , 곧 가 되고, 양변을 의 계수인 로 나누면 다. 계수가 음수여도 방법은 같아서 이면 양변을 로 나누어 이다. 일차방정식은 실생활 문제를 푸는 데에도 쓰인다. 이때는 구하려는 것을 문자로 놓는 일이 먼저다. 예를 들어 어떤 수의 배보다 만큼 큰 수가 라면 그 수를 로 놓아 를 세우고 를 얻는다. 답을 구한 뒤에는 그 값이 처음에 정한 문자에 대한 값인지, 문제의 조건에 맞는지 확인해야 한다. 사람 수나 개수를 구했다면 정수인지, 한 명 이상이어야 하는 상황이라면 자연수인지까지 확인한다.
문자로 식을 세우고 등식의 성질로 푸는 이 방법은 앞으로 계속 확장된다. 중학교 2학년에서는 미지수가 두 개인 연립방정식과 부등식으로, 중학교 3학년에서는 이차방정식으로 이어진다. 푸는 대상은 달라져도 양변을 함께 다루고 구한 해가 조건에 맞는지 확인한다는 원칙은 그대로다.
이 단원 시험에서 묻는 것
학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.
- [9수02-04]일차방정식을 풀 수 있고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.
- [9수02-01]다양한 상황을 문자를 사용한 식으로 나타내어 그 유용성을 인식하고, 식의 값을 구할 수 있다.
- [9수02-02]일차식의 덧셈과 뺄셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.
- [9수02-03]방정식과 그 해의 뜻을 알고, 등식의 성질을 설명할 수 있다.
자주 하는 착각
문자의 사용과 식
- 곱셈 기호를 생략하는 규칙을 숫자에도 그대로 쓴다. 기호를 없애 간단히 쓰는 것이 목적이라고만 알기 때문이다. 문자와 문자, 수와 문자 사이에서는 곱셈 기호를 생략하지만 수와 수 사이에서는 생략할 수 없다. 2 곱하기 3을 23으로 쓸 수 없는 것과 같다. 또 수는 문자 앞에 쓴다.
- 식의 값을 구할 때 문자에 수를 그대로 이어 붙인다. 문자 자리에 수를 넣으라는 말을 글자 바꾸기로 받아들이기 때문이다. 생략된 곱셈 기호를 되살려 대입해야 한다. 3a에 a가 −2이면 3×(−2)로 계산해 −6이 된다. 음수를 대입할 때는 괄호를 쓰는 것이 안전하다.
- 항과 계수, 차수를 구분하지 않는다. 식을 하나의 덩어리로만 보기 때문이다. 항은 덧셈으로 연결된 각 부분이고, 계수는 문자에 곱해진 수이며, 차수는 단항식에서 문자가 곱해진 횟수이며, 항이 여럿이면 각 항의 차수 가운데 가장 큰 것이 그 식의 차수다. 상수항은 문자가 없는 항이다. 이 구분이 서야 동류항을 찾을 수 있다.
- 문자가 다른 항끼리도 더한다. 계산은 모두 합칠 수 있다고 생각하기 때문이다. 문자와 차수가 모두 같은 동류항끼리만 더하거나 뺄 수 있다. 2a와 3b는 더 이상 합칠 수 없고, 2a와 3a는 5a로 합칠 수 있다.
- 괄호 앞에 음의 부호가 있을 때 첫 항의 부호만 바꾼다. 부호를 하나만 처리하면 된다고 여기기 때문이다. 괄호 앞의 음의 부호는 괄호 안 모든 항의 부호를 바꾼다. 3a−(2a−1)은 3a−2a+1이 되어 a+1이다.
일차방정식
- 등식이면 모두 방정식이라고 본다. 등호가 있는 식을 한 가지로만 보기 때문이다. 미지수의 값에 따라 참이 되기도 거짓이 되기도 하는 등식이 방정식이고, 어떤 값을 넣어도 항상 참인 등식은 항등식이다. 방정식을 푼다는 것은 참이 되게 하는 미지수의 값을 찾는 일이다.
- 등식의 한 변에만 같은 수를 더하거나 곱한다. 식을 정리한다는 느낌으로 한쪽만 손대기 때문이다. 등식은 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱해도, 0이 아닌 같은 수로 나누어도 성립한다. 한쪽만 바꾸면 등식이 깨진다.
- 이항할 때 부호를 바꾸지 않는다. 항을 옮기는 것을 자리만 옮기는 일로 보기 때문이다. 이항은 양변에서 같은 수를 빼거나 더하는 것을 줄여 쓴 것이므로 옮긴 항의 부호가 바뀐다. 2x+3=7에서 3을 옮기면 2x=7−3이다.
- 양변을 x의 계수로 나눌 때 한쪽만 나누거나 부호를 놓친다. 마지막 단계를 빨리 끝내려 하기 때문이다. 양변을 모두 계수로 나누어야 하고, 계수가 음수이면 나눈 결과의 부호도 달라진다. −2x=6이면 양변을 −2로 나누어 x=−3이다.
- 활용 문제에서 구한 값을 그대로 답으로 적는다. 방정식을 풀면 문제가 끝났다고 보기 때문이다. 문자가 무엇을 나타내는지 정한 뒤에 식을 세웠으므로, 구한 값이 그 문자에 대한 값인지 그리고 문제의 조건에 맞는지 확인해야 한다. 사람 수나 개수를 구했다면 정수인지 확인하고, 한 명 이상 또는 한 개 이상이어야 하는 상황이라면 자연수인지도 확인한다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
수와 수 사이의 곱셈 기호도 문자와 수 사이처럼 생략하여 쓸 수 있다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
곱셈 기호를 생략하는 목적이 '더 간단히 쓰기 위함'이라고만 이해하면, 수와 수 사이에서도 똑같이 기호를 없애도 된다고 생각하기 쉬워요. 그러나 2×3을 23으로 쓰면 '이십삼'이라는 전혀 다른 수로 읽히기 때문에, 수와 수 사이에서는 곱셈 기호를 생략할 수 없어요. 기호 생략은 문자가 포함된 경우에만 적용되는 규칙이에요.
3a에 a = −2를 대입하면 생략된 곱셈 기호를 되살려 3×(−2)로 계산해 −6이 된다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
문자 자리에 수를 넣으라는 말을 글자를 바꾸는 것으로 받아들이면 3a의 a를 −2로 바꿔 3−2처럼 쓰기 쉬워요. 실제로는 3a에서 3과 a 사이에 곱셈 기호가 생략되어 있기 때문에, 대입할 때 그 기호를 되살려 3×(−2)로 계산해야 해요. 특히 음수를 대입할 때는 괄호를 써서 3×(−2)처럼 나타내면 계산 실수를 줄일 수 있어요.
3x²+ 2x - 5에서 항은 3x², 2x, -5이고, 이 식의 차수는 각 항의 차수를 모두 더한 값인 5이다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
항이 여러 개인 식에서 차수를 구할 때 각 항의 차수를 모두 더하고 싶어지기 쉬워요. 실제로는 각 항의 차수 가운데 가장 큰 값 하나를 그 식의 차수로 정해요. 예를 들어 3x²+ 2x - 5에서 각 항의 차수는 2, 1, 0이므로 이 식의 차수는 가장 큰 2가 돼요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
자주 묻는 질문
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반