수열의 합과 수학적 귀납법

무엇의 뿌리인가

대수 성취기준 [12대수03-04]~[12대수03-07]에 해당한다. 앞 계단에서 등차·등비수열의 합을 구했다면, 이 계단은 합을 합의 기호로 나타내고 자연수의 거듭제곱의 합이나 분수 꼴 수열의 합으로 넓힌다. 합의 기호는 합·차와 상수배에는 성질에 따라 나눌 수 있지만, 두 수열의 곱에는 일반적으로 나누어 들어가지 않는다. 항 사이의 관계식은 첫째항과 함께 주어져야 수열을 정하고, 수학적 귀납법은 n이 1일 때와 k에서 k+1로 넘어가는 두 단계로 모든 자연수에서의 성립을 증명한다(교육부 고시 제2022-33호 수학과 교육과정 기반).

뿌리 자가 점검

같은 상수를 합의 기호로 n번 더하면 그 상수에 n을 곱한 값이 되는 까닭을 말할 수 있는가. 수학적 귀납법에서 n=1일 때만 보이면 증명이 끝나지 않는 까닭을 설명할 수 있는가.

여기서 흔히 생기는 구멍

수학적 귀납법을 여러 예로 확인하는 방법이라고 보는 구멍이 대표적이다. 유한한 예를 아무리 들어도 증명이 되지 않으며, 두 단계를 모두 보여 모든 자연수에서의 성립을 증명한다. 두 수열의 곱의 합을 각각의 합의 곱으로 보는 것도 흔하다. 두 번째 단계에서 k+1일 때를 가정하는 것도 조심해야 한다. 가정하는 것은 n이 k일 때이고, 보여야 하는 것이 k+1일 때다.

이 개념의 뿌리

이 개념이 받치는 개념

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