피어남

뿌리학습 · 고등 수학

수열의 합과 수학적 귀납법

앞 단원에서 등차수열과 등비수열의 합을 구했다. 그런데 더해야 할 수열이 늘 그 두 가지인 것은 아니다. 이 단원에서는 여러 항의 합을 간단히 나타내는 기호를 배우고, 다양한 수열의 합을 구하는 방법을 익힌다. 마지막으로 모든 자연수에서 성립하는 명제를 증명하는 수학적 귀납법을 다룬다.

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개념 정리

첫째항부터 제nn항까지의 합을 합의 기호를 써서 ∑k=1nak\sum_{k=1}^{n}a_k로 나타내고 시그마라고 읽는다. 아래의 k=1k=1은 번호를 어디서부터 시작할지, 위의 nn은 어디까지 더할지를 나타낸다. 이 기호에는 두 가지 성질이 있다. 두 수열의 합과 차는 각각의 합으로 나누어 쓸 수 있고, 상수배는 기호 밖으로 꺼낼 수 있다. 다만 곱셈에는 이런 성질이 없어서 두 수열을 곱한 것의 합은 일반적으로 각각의 합을 곱한 값과 같지 않다. 또 상수 cc를 k=1k=1부터 nn까지 더하면 ncnc가 된다. 더하는 횟수를 빠뜨리기 쉬운 곳이다.
자주 쓰는 합의 공식은 세 가지다. ∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}, ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, ∑k=1nk3={n(n+1)2}2\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2이다. 이 셋과 앞의 성질을 함께 쓰면 여러 수열의 합을 구할 수 있다. 예를 들어 ∑k=110(2k+1)\sum_{k=1}^{10}(2k+1)은 2∑k=110k+∑k=1101=2×55+10=1202\sum_{k=1}^{10}k+\sum_{k=1}^{10}1=2\times55+10=120이다. 시작 번호가 11이 아니면 먼저 맞춰 준다. 제33항부터 제1010항까지의 합은 제11항부터 제1010항까지의 합에서 제11항부터 제22항까지의 합을 뺀 값이다.
분모가 곱으로 된 분수 꼴은 두 분수의 차로 바꾸면 중간이 지워진다. 1k(k+1)=1k−1k+1\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}이므로 ∑k=1n1k(k+1)=1−1n+1=nn+1\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}이다. 더 일반적으로 1k(k+m)=1m(1k−1k+m)\frac{1}{k(k+m)}=\frac{1}{m}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+m}\right)이므로, 1k(k+2)\frac{1}{k(k+2)}이라면 12(1k−1k+2)\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)처럼 앞에 곱하는 수가 붙는다. 바꾼 식을 다시 통분해 원래 식이 되는지 확인하는 습관이 필요하다.
합에서 거꾸로 일반항을 구할 수도 있다. 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS_n이라 하면 an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1}인데, 여기서 SnS_n을 첫째항부터 제nn항까지의 합으로 정의했으므로 S0S_0은 따로 정의되지 않고, 이 식은 n≥2n\ge2에서 쓴다. 그래서 a1=S1a_1=S_1을 따로 구한 뒤, n≥2n\ge2에서 얻은 일반항에 n=1n=1을 넣은 값과 같은지 확인해야 한다. 같으면 하나의 식으로 쓰고, 다르면 첫째항을 따로 적어야 한다.
수열은 항 사이의 관계로도 정의할 수 있다. 첫째항과, 이웃한 항 사이의 관계식을 함께 주는 방식을 귀납적 정의라고 한다. 관계식만으로는 수열이 정해지지 않는다. 출발점인 첫째항이 있어야 둘째항, 셋째항이 차례로 정해진다. 이런 생각을 증명에 옮긴 것이 수학적 귀납법이다. 자연수 nn에 대한 명제를 증명할 때 첫째로 n=1n=1일 때 성립함을 보이고, 둘째로 n=kn=k일 때 성립한다고 가정하면 n=k+1n=k+1일 때도 성립함을 보인다. 두 단계가 모두 끝나면 도미노가 차례로 넘어가듯 모든 자연수에서 성립한다. 여기서 가정하는 것은 n=kn=k일 때이지 n=k+1n=k+1일 때가 아니라는 점을 분명히 해야 한다. 예를 들어 1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}을 증명할 때, n=kn=k에서 성립한다고 가정한 식의 양변에 k+1k+1을 더해 n=k+1n=k+1에서의 식이 되는지 보이면 된다.
이름은 귀납법이지만 예를 모아 규칙을 추측하는 일과는 다르다. 유한하게 많은 예를 아무리 확인해도 모든 자연수에서 성립한다는 보장은 없고, 수학적 귀납법은 그 빈틈을 메우는 증명 방법이다. 여기서 익힌 합의 기호는 확률과 통계에서 자료와 확률변수를 다룰 때 다시 쓰이고, 수열의 합을 끝없이 더하는 급수는 진로 선택 과목인 미적분Ⅱ에서 이어진다.

자주 하는 착각

합의 기호

  1. 합의 기호로 상수를 더할 때 더하는 횟수를 빠뜨린다. 더할 식에 번호를 나타내는 문자가 없으면 그대로 두면 된다고 생각하기 때문이다. 같은 상수를 n번 더하는 것이므로 그 상수에 n을 곱한 값이 된다. 더하는 항의 개수를 항상 함께 세는 습관이 필요하다.
  2. 합의 기호가 곱셈에도 나뉘어 들어간다고 본다. 덧셈과 상수배에서 성립하는 성질을 곱셈까지 넓히기 때문이다. 두 수열을 곱한 것의 합은 일반적으로 각각의 합을 곱한 값과 같지 않다. 성질이 성립하는 것은 두 수열의 합과 차, 그리고 상수배까지다.
  3. 시작 번호가 1이 아닌 합을 공식에 그대로 넣는다. 공식이 1부터 시작하는 꼴로 외워져 있기 때문이다. 제3항부터 제10항까지의 합은 제1항부터 제10항까지의 합에서 제1항부터 제2항까지의 합을 뺀 값이다. 시작 번호를 맞춘 뒤에 공식을 쓴다.

여러 가지 수열의 합

  1. 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 서로 뒤섞어 쓴다. 세 공식의 모양이 비슷하기 때문이다. 1부터 n까지 자연수의 합, 제곱의 합, 세제곱의 합은 각각 다른 식이며, 세제곱의 합은 자연수의 합을 제곱한 값과 같다. 공식을 n이 1일 때 넣어 보면 어느 것인지 빠르게 확인할 수 있다.
  2. 분수 꼴의 수열을 두 분수의 차로 바꿀 때 앞에 곱해야 할 수를 빠뜨린다. 형태만 보고 바로 쪼개기 때문이다. 분모가 k와 k+m의 곱인 꼴이면 두 분수의 차에 m분의 1을 곱한 것과 같다. m이 1이면 그대로 차가 되지만 m이 2이면 2분의 1을 곱해야 한다. 바꾼 뒤 다시 통분해 원래 식이 되는지 확인해야 한다.
  3. 첫째항부터 제n항까지의 합에서 일반항을 구할 때 n이 1인 경우를 따로 확인하지 않는다. 뒤 항과 앞 항의 차를 구하는 식이 모든 n에서 성립한다고 보기 때문이다. 합을 첫째항부터 제n항까지로 정의했으므로 이 식은 n이 2 이상일 때 쓸 수 있고, 첫째항은 따로 구한 뒤 구한 일반항에 1을 넣은 값과 같은지 확인해야 한다.

귀납적 정의

  1. 항 사이의 관계식만 있으면 수열이 정해진다고 본다. 관계식이 규칙을 담고 있으니 충분하다고 생각하기 때문이다. 관계식은 앞의 항에서 다음 항을 얻는 방법일 뿐이므로 출발점이 필요하다. 첫째항이 함께 주어져야 수열의 모든 항이 하나로 정해진다.

수학적 귀납법

  1. 첫 번째 단계만 보이고 증명을 끝낸다. 몇 개의 값에서 성립하면 규칙이 확인되었다고 여기기 때문이다. 수학적 귀납법은 두 단계를 모두 보여야 한다. n이 1일 때 성립함을 보이고, 이어서 n이 k일 때 성립한다고 가정하면 n이 k+1일 때도 성립함을 보여야 한다.
  2. 두 번째 단계에서 n이 k+1일 때 성립한다고 가정한다. 보이려는 것과 가정하는 것을 뒤섞기 때문이다. 가정하는 것은 n이 k일 때의 성립이고, 보여야 하는 것은 n이 k+1일 때의 성립이다. 가정한 식을 어디에 썼는지 풀이에서 드러나야 한다.
  3. 수학적 귀납법을 여러 예로 확인하는 방법이라고 본다. 귀납이라는 말이 관찰로 규칙을 찾는 일을 떠올리게 하기 때문이다. 수학적 귀납법은 모든 자연수에서 성립함을 빈틈없이 보이는 증명이다. 유한하게 많은 예를 아무리 들어도 증명이 되지 않는다는 점이 이 방법을 배우는 이유다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

합의 기호에서 더할 식에 번호를 나타내는 문자가 없으면 그 식의 값이 그대로 합이 된다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

더할 식에 번호를 나타내는 문자가 없으면 변하는 부분이 없어 보여서 그냥 그 값 자체가 합이라고 생각하기 쉬워요. 하지만 합의 기호는 정해진 횟수만큼 반복해서 더하는 것을 나타내므로, 상수를 n번 더하면 실제로는 그 상수에 n을 곱한 값이 돼요. 더할 식을 볼 때 식의 모양뿐 아니라 몇 번 더하는지 항의 개수도 함께 확인하는 습관이 도움이 돼요.
합의 기호는 두 수열의 합과 차, 상수배에 대해서는 나누어 적용할 수 있지만, 두 수열의 곱에 대해서는 일반적으로 성립하지 않는다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

덧셈과 상수배에서는 합의 기호를 나누어 적용하는 성질이 잘 성립하다 보니, 곱셈에서도 같은 방식이 통할 것이라고 생각하기 쉬워요. 실제로는 두 수열을 곱한 것의 합과 각각의 합을 곱한 값은 일반적으로 서로 다른 결과가 나와요. 합의 기호의 분배 성질은 합과 차, 상수배까지만 적용된다는 점을 기억해 두면 좋아요.
제3항부터 제10항까지의 합을 구할 때, 수열의 합 공식에 시작 번호인 3과 끝 번호인 10을 그대로 대입하여 바로 계산할 수 있다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

수열의 합 공식이 항상 제1항부터 시작하는 꼴로 외워져 있다 보니, 시작 번호가 1이 아닌 경우에도 그 번호를 공식에 그냥 넣으면 된다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 공식이 제1항부터 제n항까지의 합을 구하는 형태이기 때문에, 시작 번호가 1이 아닐 때는 먼저 제1항부터 끝 번호까지의 합을 구한 뒤, 거기서 시작 번호 바로 앞 항까지의 합을 빼는 방식으로 시작 번호를 맞춰 주어야 해요.

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