y=x²+4x+1의 꼭짓점의 좌표는 무엇일까요?

(-2, -3)입니다. y=(x²+4x+4)-4+1=(x+2)²-3이므로 꼭짓점은 (-2, -3)입니다.

뿌리학습 · 중3 수학 · 함수

이차함수의 꼭짓점은 어떻게 구하나요?

Q: y=-2(x+1)²+3의 꼭짓점의 좌표는 무엇일까요?

(-1, 3)입니다. 괄호 안 x+1을 0으로 만드는 x는 -1이고, 그때 y=3이므로 꼭짓점은 (-1, 3)입니다.

이차함수의 꼭짓점은 식을 완전제곱식이 들어간 꼴로 고친 뒤, 괄호 안을 0으로 만드는 x와 그때의 y를 읽어 구합니다. 예를 들어

y=2(x-1)^2+5

의 꼭짓점은

(1,\ 5)

이고,

y=x^2-6x+7

은

y=(x-3)^2-2

로 고쳐 꼭짓점

(3,\ -2)

를 얻습니다.

꼭짓점과 축 읽기
식	꼭짓점	축
$y=3x^2$	$(0,\ 0)$	$x=0$
$y=-(x+2)^2+4$	$(-2,\ 4)$	$x=-2$
$y=2(x-1)^2+5$	$(1,\ 5)$	$x=1$
$y=x^2-6x+7$	$(3,\ -2)$	$x=3$

왜 꼭짓점의 x좌표는 괄호 안 부호와 반대인가요?

꼭짓점은 괄호 안이

0

이 되는 곳이기 때문입니다.

y=(x-3)^2+1

에서 괄호 안이

0

이 되는

x

는

3

이므로 꼭짓점의

x

좌표는

-3

이 아니라

3

입니다. 마찬가지로

y=(x+2)^2

에서는

x=-2

일 때 괄호 안이

0

이 됩니다. 일반적으로

y=a(x-p)^2+q

의 그래프는

y=ax^2

의 그래프를

x

축 방향으로

p

만큼,

y

축 방향으로

q

만큼 평행이동한 것이어서 꼭짓점이 원점에서

(p,\ q)

로 옮겨 갑니다.

일반형의 꼭짓점은 어떻게 구하나요?

y=ax^2+bx+c

꼴에서는 꼭짓점이 바로 보이지 않으므로 완전제곱식을 만들어 고칩니다.

y=x^2-6x+7

이면

x

의 계수

-6

의 절반인

-3

을 제곱한

9

를 더하고 빼서

y=(x^2-6x+9)-9+7=(x-3)^2-2

로 바꿉니다. 그러면 꼭짓점은

(3,\ -2)

입니다. 상수항

7

은 꼭짓점이 아니라 그래프가

y

축과 만나는 점의

y

좌표입니다.

꼭짓점은 무엇을 알려 주나요?

그래프에서 가장 낮거나 가장 높은 점을 알려 줍니다.

x^2

의 계수가 양수이면 아래로 볼록하므로 꼭짓점의

y

좌표가 최솟값이고, 음수이면 위로 볼록하므로 꼭짓점의

y

좌표가 최댓값입니다.

y=(x-3)^2-2

는

x=3

일 때 최솟값

-2

를 가지고 최댓값은 없습니다. 또 그래프는 꼭짓점을 지나는 직선을 축으로 좌우가 대칭이며, 축은 수가 아니라 직선이므로

x=3

처럼 씁니다.

이 단원 시험에서 묻는 것

학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.

[9수02-22]이차함수의 그래프를 그릴 수 있고, 그 성질을 설명할 수 있다.

이차함수와 그래프 시험 포인트 보기 →

자주 하는 착각

착각 · y=(x−3)²+1의 꼭짓점은 (−3, 1)이다.

왜 헷갈릴까 · 괄호 안의 부호를 그대로 옮겨 적기 때문입니다.

바른 설명 · 괄호 안을 0으로 만드는 x가 3이므로 꼭짓점은 (3, 1)입니다.

착각 · y=ax²+bx+c의 상수항 c가 꼭짓점의 y좌표다.

왜 헷갈릴까 · 식 끝의 수가 꼭짓점의 높이처럼 보이기 때문입니다.

바른 설명 · c는 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표입니다. 꼭짓점은 완전제곱식으로 고쳐 구합니다.

착각 · 축을 물으면 p라고만 답한다.

왜 헷갈릴까 · 축을 점이나 수로 생각하기 때문입니다.

바른 설명 · 축은 그래프를 좌우로 나누는 직선이므로 x=p처럼 직선의 식으로 씁니다.

스스로 확인

y=-2(x+1)^2+3

의 꼭짓점의 좌표는 무엇일까요?정답 보기

$(-1,\ 3)$ 입니다.

괄호 안

x+1

을

0

으로 만드는

x

는

-1

이고, 그때

y=3

이므로 꼭짓점은

(-1,\ 3)

입니다.

y=x^2+4x+1

의 꼭짓점의 좌표는 무엇일까요?정답 보기

$(-2,\ -3)$ 입니다.

y=(x^2+4x+4)-4+1=(x+2)^2-3