뿌리학습 · 중학 수학
이차함수와 그래프
한 변의 길이가 늘어날 때 정사각형의 넓이가 어떻게 변하는지 생각해 보자. 변이 두 배가 되면 넓이는 네 배가 된다. 이렇게 한 양이 변할 때 다른 양이 그 양의 제곱이 들어간 식으로 정해지는 관계를 이차함수라고 한다. 이차함수의 그래프는 직선이 아니라 포물선이라 부르는 곡선이며, 이 단원에서는 그 그래프를 읽는 법을 배운다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
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개념 정리
함수 y=f(x)에서 y가 x에 대한 이차식으로 나타날 때, 곧 (는 상수, ) 꼴로 나타날 때 이 함수를 이차함수라고 한다. 여기서 이라는 조건이 중요하다. 가 이면 항이 사라져 이차함수가 아니게 된다. 또 이차함수는 이차방정식과 다르다. 이차방정식은 등식을 참이 되게 하는 를 구하는 것이고, 이차함수는 가 변할 때 가 어떻게 정해지는지를 나타내는 관계다.
가장 기본이 되는 그래프는 이다. 꼭짓점이 원점이고 축, 곧 직선 에 대해 대칭인 포물선이다. 이면 아래로 볼록해 그릇처럼 열리고, 이면 위로 볼록해 뒤집힌 모양이 된다. 폭을 정하는 것은 의 절댓값이다. 절댓값이 클수록 폭이 좁아지고, 에 가까울수록 넓게 벌어진다. 가 크면 넓어진다고 거꾸로 기억하기 쉬우니 주의해야 한다.
이 그래프를 옮기면 다른 이차함수의 그래프가 된다. 는 축 방향으로 만큼, 은 축 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. 둘을 합치면 이고, 꼭짓점은 , 축은 직선 다. 괄호 안이 인데 오른쪽으로 만큼 움직이는 것이 이상하게 느껴진다면, 괄호 안을 으로 만드는 가 라는 점을 떠올리면 된다. 그리고 축은 점이나 수가 아니라 직선이므로 로 나타내야 한다.
이차함수는 꼴로도 주어진다. 이 꼴에서는 꼭짓점이 보이지 않으므로 완전제곱식을 이용해 고쳐야 한다. 이라면 이므로 꼭짓점은 , 축은 다. 한편 상수항 는 일 때의 의 값이므로 그래프가 축과 만나는 점의 좌표가 된다.
꼭짓점은 그래프에서 가장 낮거나 가장 높은 점이기도 하다. 의 값의 범위가 실수 전체일 때, 아래로 볼록한 그래프는 꼭짓점에서 가장 낮아지므로 그 좌표가 최솟값이 되고 최댓값은 없다. 위로 볼록하면 반대로 꼭짓점의 좌표가 최댓값이고 최솟값은 없다. 앞의 은 아래로 볼록하므로 일 때 최솟값 을 가진다. 또 그래프가 축과 만나는 점의 개수도 꼭짓점의 위치와 볼록한 방향에 따라 두 개, 한 개, 없는 경우로 갈린다. 항상 두 점에서 만나는 것이 아니다.
고등학교에서는 여기서 한 걸음 더 나간다. 의 값의 범위가 제한된 경우의 최댓값과 최솟값을 다루고, 이차함수의 그래프와 직선이 몇 개의 점에서 만나는지를 판별식으로 판단하며, 그래프의 위아래를 부등식으로 읽는 이차부등식을 배운다. 모두 이 단원에서 그래프를 읽은 방식 위에 쌓인다.
이 단원 시험에서 묻는 것
학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.
- [9수02-22]이차함수의 그래프를 그릴 수 있고, 그 성질을 설명할 수 있다.
자주 하는 착각
이차함수의 뜻
- y=ax²+bx+c 꼴이면 모두 이차함수라고 본다. 식의 모양만 보고 판단하기 때문이다. a가 0이면 x²항이 사라져 일차함수나 상수함수가 되므로, 이차함수가 되려면 a≠0이어야 한다. 식에 문자 계수가 있으면 이 조건을 먼저 확인해야 한다.
- 이차함수와 이차방정식을 같은 것으로 본다. 둘 다 이차식이 들어 있기 때문이다. 이차방정식은 등식을 참이 되게 하는 x의 값을 구하는 것이고, 이차함수는 x가 변할 때 y가 어떻게 정해지는지를 나타내는 대응 관계다. 이차함수에서 y=0인 x를 구할 때 이차방정식이 도구로 쓰인다.
그래프의 모양과 평행이동
- x²의 계수가 클수록 그래프가 넓게 벌어진다고 본다. 수가 크면 그래프도 커진다고 생각하고, 계수가 양수인 예만 떠올리기 때문이다. 폭을 정하는 것은 a의 절댓값이며, 절댓값이 클수록 폭이 좁아지고 작을수록 넓어진다. a의 부호는 폭이 아니라 그래프가 아래로 볼록한지 위로 볼록한지를 정한다.
- y=a(x−p)²의 그래프를 x축 방향으로 −p만큼 평행이동한 것으로 본다. 식에 붙은 부호를 이동 방향으로 그대로 읽기 때문이다. y=ax²의 그래프를 x축 방향으로 p만큼 옮긴 것이 y=a(x−p)²이다. 부호가 반대로 보이는 까닭은 x에 p를 더한 자리에서 같은 값을 갖게 되기 때문이다.
- y=a(x−p)²+q의 꼭짓점을 (−p, q)로 읽는다. 4번과 같은 이유로 괄호 안의 부호를 그대로 옮겨 적기 때문이다. 꼭짓점의 좌표는 (p, q)다. 헷갈리면 괄호 안을 0으로 만드는 x가 무엇인지 생각하면 된다.
- 축을 물었을 때 p라고만 답한다. 축을 점이나 수로 생각하기 때문이다. 축은 그래프를 좌우 대칭으로 나누는 직선이므로 x=p처럼 직선의 방정식으로 나타내야 한다.
일반형과 최대·최소
- y=ax²+bx+c에서 꼭짓점의 좌표를 계수에서 바로 읽으려 한다. 앞에서 배운 꼴과 모양이 비슷해 보이기 때문이다. 일반형에서는 꼭짓점이 보이지 않으므로 완전제곱식을 이용해 y=a(x−p)²+q 꼴로 고쳐야 한다. 예를 들어 y=x²−4x+1은 y=(x−2)²−3이 되어 꼭짓점이 (2, −3)이다.
- y=ax²+bx+c의 상수항 c를 그래프가 x축과 만나는 점의 좌표로 본다. 상수항이 그래프와 축이 만나는 값이라는 느낌 때문이다. c는 x가 0일 때의 y의 값이므로 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표다. x축과 만나는 점은 그래프를 그려 확인한다.
- 이차함수는 최댓값과 최솟값을 항상 둘 다 가진다고 본다. 최대와 최소를 한 묶음으로 배우기 때문이다. x의 값의 범위가 실수 전체일 때 그래프가 아래로 볼록하면 꼭짓점에서 최솟값을 가지고 최댓값은 없으며, 위로 볼록하면 그 반대다.
- 이차함수의 그래프는 x축과 반드시 두 점에서 만난다고 본다. 교과서에 나오는 그래프가 대부분 그렇게 그려지기 때문이다. 꼭짓점의 위치와 볼록한 방향에 따라 두 점에서 만나기도 하고, 한 점에서 만나기도 하며, 만나지 않기도 한다. 그래프를 그려 꼭짓점이 x축보다 위에 있는지 아래에 있는지, 아니면 x축 위에 있는지를 보면 확인할 수 있다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
y=ax²+bx+c 꼴의 식은 a의 값에 관계없이 모두 이차함수이다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
식의 모양이 ax²+bx+c 꼴이면 무조건 이차함수라고 생각하기 쉬워요. 그런데 a=0이면 x² 항이 사라져서 일차함수나 상수함수가 되기 때문에, 이차함수라고 할 수 없어요. 실제로는 a≠0이라는 조건이 갖춰져야 비로소 이차함수가 되므로, 식에 문자 계수가 있을 때는 이 조건을 먼저 확인하는 것이 중요해요.
이차함수는 x가 변할 때 y가 어떻게 정해지는지를 나타내는 대응 관계이고, 이차방정식은 등식을 참이 되게 하는 x의 값을 구하는 것으로 서로 다른 개념이다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
이차함수와 이차방정식 모두 이차식이 들어 있어 같은 것으로 느끼기 쉬워요. 실제로는 이차함수는 x에 따라 y가 결정되는 대응 관계를 나타내는 것이고, 이차방정식은 등식을 참으로 만드는 특정 x의 값을 찾는 것이에요. 다만 이차함수에서 y=0이 되는 x를 구할 때 이차방정식이 도구로 활용되기 때문에, 둘이 연결되어 있다는 점이 혼동을 더 키우기 쉬워요.
x²의 계수가 클수록 이차함수의 그래프는 더 넓게 벌어진다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
수가 크면 그래프도 커질 것 같아서 계수가 클수록 그래프가 넓어진다고 생각하기 쉬워요. 하지만 실제로 그래프의 폭을 결정하는 것은 계수의 절댓값이에요. 절댓값이 클수록 그래프는 좁아지고, 절댓값이 작을수록 그래프는 넓어져요. 계수의 부호는 폭과는 관계없이 그래프가 위로 볼록한지 아래로 볼록한지를 결정해요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
자주 묻는 질문
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반