이차함수와 그래프

이 단원 시험에서 묻는 것

• 이차함수의 뜻. y가 x에 대한 이차식 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)로 나타날 때 y를 x의 이차함수라고 합니다. 계수에 문자가 있으면 x²의 계수가 0이 아닌지부터 확인합니다.
• y = ax²의 그래프. 원점을 꼭짓점으로 하고 y축을 축으로 하는 포물선입니다. a > 0이면 아래로 볼록, a < 0이면 위로 볼록하며, a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아집니다.
• 평행이동. y = a(x − p)² + q의 그래프는 y = ax²의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 것입니다. 꼭짓점은 (p, q)이고 축은 직선 x = p입니다.
• y = ax² + bx + c의 그래프. 완전제곱식을 이용해 y = a(x − p)² + q 꼴로 고치면 꼭짓점과 축을 알 수 있습니다. y = x² − 4x + 1 = (x − 2)² − 3이므로 꼭짓점은 (2, −3)입니다.
• 그래프 그리기. y = ax² + bx + c의 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표는 c입니다. 볼록한 방향, 꼭짓점, y축과 만나는 점을 차례로 찾으면 그래프의 모양을 그릴 수 있습니다.
• 계수의 부호 읽기. 그래프가 아래로 볼록하면 a > 0, 위로 볼록하면 a < 0이고, y축과 원점보다 위에서 만나면 c > 0입니다. 축이 y축의 오른쪽에 있으면 a와 b의 부호가 다르고, 왼쪽에 있으면 같습니다.

자주 하는 착각

1. y=ax²+bx+c 꼴이면 모두 이차함수라고 본다. 식의 모양만 보고 판단하기 때문이다. a가 0이면 x²항이 사라져 일차함수나 상수함수가 되므로, 이차함수가 되려면 a≠0이어야 한다. 식에 문자 계수가 있으면 이 조건을 먼저 확인해야 한다.
2. x²의 계수가 클수록 그래프가 넓게 벌어진다고 본다. 수가 크면 그래프도 커진다고 생각하고, 계수가 양수인 예만 떠올리기 때문이다. 폭을 정하는 것은 a의 절댓값이며, 절댓값이 클수록 폭이 좁아지고 작을수록 넓어진다. a의 부호는 폭이 아니라 그래프가 아래로 볼록한지 위로 볼록한지를 정한다.
3. y=a(x−p)²+q의 꼭짓점을 (−p, q)로 읽는다. 4번과 같은 이유로 괄호 안의 부호를 그대로 옮겨 적기 때문이다. 꼭짓점의 좌표는 (p, q)다. 헷갈리면 괄호 안을 0으로 만드는 x가 무엇인지 생각하면 된다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

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