도함수의 활용

무엇의 뿌리인가

미적분Ⅰ 성취기준 [12미적Ⅰ-02-05]~[12미적Ⅰ-02-10]에 해당한다. 앞 계단에서 도함수를 구했고 공통수학1에서 이차함수와 인수분해를 다뤘다면, 이 계단은 도함수로 함수의 모양을 읽는다. 미분계수로 접선의 방정식을 구하고, 평균값 정리는 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분가능한 함수에 쓴다. 도함수가 양수인 구간에서 증가하고, 한 점을 기준으로 도함수의 부호가 바뀌면 그 점에서 극값을 갖는다. 이로써 그래프의 개형을 그려 방정식·부등식을 풀고, 위치를 미분해 속도와 가속도를 구한다(교육부 고시 제2022-33호 수학과 교육과정 기반).

뿌리 자가 점검

도함수의 값이 0인 점에서도 극값을 갖지 않을 수 있는 예를 말할 수 있는가. 극댓값이 그 구간의 최댓값이 아닐 수 있는 까닭을 설명할 수 있는가.

여기서 흔히 생기는 구멍

도함수의 값이 0인 점이면 반드시 극값을 갖는다고 보는 구멍이 대표적이다. 그 점의 좌우에서 도함수의 부호가 바뀌어야 극값이 된다. 극댓값을 그 구간의 최댓값과 같은 것으로 보는 것도 흔한데, 극댓값은 그 점 주변에서 가장 큰 값일 뿐이다. 방향이 있는 속도와 크기만 있는 속력을 같게 보는 것도 조심해야 한다. 직선 위의 운동에서 속도의 부호는 운동 방향을 뜻한다.

이 개념의 뿌리

이 개념의 유형 정리