피어남

뿌리학습 · 고등 수학

도함수의 활용

미분은 순간의 변화를 재는 도구다. 도함수를 구하는 방법을 익혔다면 이제 그것으로 무엇을 할 수 있는지가 중요하다. 이 단원에서는 접선을 구하고, 함수가 어디서 늘고 줄며 어디서 가장 커지는지를 판단해 그래프의 모습을 그려 낸다. 나아가 방정식과 부등식 문제, 물체의 운동까지 다룬다.

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개념 정리

먼저 접선이다. 함수가 그 점에서 미분가능하면 미분계수가 곧 접선의 기울기이므로, 곡선 위의 점 (a, f(a))(a,\ f(a))에서의 접선은 y−f(a)=f′(a)(x−a)y-f(a)=f'(a)(x-a)다. 주의할 것은 주어진 점이 곡선 밖에 있는 경우다. 이때는 접점을 (t, f(t))(t,\ f(t))로 두고 그 접선이 주어진 점을 지난다는 조건에서 tt를 먼저 구해야 한다. 또 접선은 접점이 아닌 곳에서 곡선과 다시 만날 수 있다. 한 점에서만 만나는 직선이라고 기억하면 안 된다.
도함수와 함수의 관계를 이어 주는 것이 평균값 정리다. 함수가 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분가능하면, 두 끝을 이은 직선의 기울기와 같은 기울기를 갖는 접선이 구간 안에 적어도 하나 있다. 양 끝의 함숫값이 같은 특별한 경우가 롤의 정리이고, 이때는 도함수의 값이 00인 점이 존재한다. 두 정리 모두 조건을 확인한 뒤에 써야 한다.
이 정리에서 증가와 감소의 판정이 나온다. 함수가 어떤 구간에서 미분가능하고 그 구간에서 f′(x)>0f'(x)>0이면 증가하고, f′(x)<0f'(x)<0이면 감소한다. 도함수의 부호가 바뀌는 점에서 극값이 생기는데, 양수에서 음수로 바뀌면 극대, 음수에서 양수로 바뀌면 극소다. 여기서 자주 틀리는 두 가지가 있다. f′(a)=0f'(a)=0이라고 해서 반드시 극값인 것은 아니다. y=x3y=x^3은 x=0x=0에서 도함수가 00이지만 부호가 바뀌지 않아 극값이 아니다. 또 증가하는 함수라도 어떤 점에서 도함수가 00일 수 있다. 다항함수는 도함수가 00이 되는 점이 따로 떨어져 있으므로, 삼차함수가 모든 실수에서 증가할 조건은 f′(x)≥0f'(x)\ge0으로 둔다.
이제 그래프를 그릴 수 있다. 도함수를 구해 f′(x)=0f'(x)=0인 점을 찾고, 증가와 감소를 표로 정리한 뒤, 최고차항의 차수와 부호로 양 끝에서 그래프가 향하는 방향을 정해 이으면 개형이 나온다. f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x라면 f′(x)=3x2−3f'(x)=3x^2-3이므로 x=−1x=-1에서 극댓값 22, x=1x=1에서 극솟값 −2-2를 갖는다. 이 개형을 이용하면 방정식과 부등식 문제도 풀린다. x3−3x=kx^3-3x=k의 실근의 개수는 곡선과 가로선 y=ky=k의 교점의 개수이므로, kk가 −2-2와 22 사이이면 33개, kk가 −2-2나 22이면 22개, 그 밖이면 11개다. 주어진 구간에서 최솟값을 가지는 경우라면, 부등식이 그 구간에서 항상 성립할 조건도 최솟값이 00 이상인지 보는 방식으로 바꿀 수 있다.
미분은 운동을 다루는 데도 쓰인다. 수직선 위를 움직이는 점의 시각 tt에서의 위치가 x(t)x(t)이면 속도는 x′(t)x'(t), 가속도는 속도를 한 번 더 미분한 값이다. 속도의 부호는 정해 둔 양의 방향을 기준으로 운동 방향을 나타내므로, 음수이면 그 반대 방향으로 움직이는 중이고, 속도가 00이 되면서 부호가 바뀌는 순간이 운동 방향이 바뀌는 때다. 그래서 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리는 다를 수 있다. 예를 들어 x(t)=t2−4tx(t)=t^2-4t이면 속도는 2t−42t-4이고 t=2t=2에서 방향이 바뀐다.
여기서 익힌 관점은 적분에서 거꾸로 쓰인다. 속도를 적분해 위치의 변화량과 움직인 거리를 구하고, 그래프의 개형을 이용해 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다. 도함수로 원래 함수의 모습을 읽어 내는 훈련이 그 바탕이 된다.

자주 하는 착각

접선의 방정식

  1. 곡선 위의 점에서 구하는 접선과 곡선 밖의 점을 지나는 접선을 같은 방법으로 구한다. 접선 문제를 한 가지 절차로 외우기 때문이다. 주어진 점이 곡선 위에 있으면 그 점의 미분계수가 곧 기울기이지만, 곡선 밖의 점이라면 접점을 미지수로 두고 접선이 그 점을 지난다는 조건을 세워 접점을 먼저 찾아야 한다.
  2. 접선은 곡선과 한 점에서만 만난다고 본다. 원의 접선에서 얻은 인상이 남아 있기 때문이다. 접선은 접점에서 곡선과 기울기가 같은 직선일 뿐이므로, 접점이 아닌 다른 곳에서 곡선과 다시 만날 수 있다.

평균값 정리

  1. 평균값 정리를 조건을 확인하지 않고 쓴다. 결론의 모양만 기억하기 때문이다. 이 정리는 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분가능할 때 성립한다. 뾰족한 점이 있어 미분가능하지 않은 함수에는 그대로 쓸 수 없다.
  2. 롤의 정리와 평균값 정리를 서로 다른 정리로만 외운다. 두 정리를 따로 배우기 때문이다. 롤의 정리는 구간의 양 끝에서 함숫값이 같은 경우이고, 이때 도함수의 값이 0이 되는 점이 존재한다. 평균값 정리는 이를 일반적인 경우로 넓힌 것이다.

증가와 감소, 극대와 극소

  1. 도함수의 값이 0인 점이면 반드시 극값을 갖는다고 본다. 극값을 찾을 때 도함수가 0인 점부터 구하기 때문이다. 미분가능한 점에서 도함수의 값이 0이라고 해서 반드시 극값인 것은 아니고, 그 점의 좌우에서 도함수의 부호가 바뀌어야 극값이 된다. 세제곱 함수의 원점처럼 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아니다. 반대로 미분가능하지 않은 점에서도 극값을 가질 수 있다.
  2. 극댓값을 그 구간의 최댓값과 같은 것으로 본다. 두 말이 모두 가장 큰 값을 뜻한다고 느끼기 때문이다. 극댓값은 그 점 주변에서 가장 큰 값일 뿐이다. 닫힌구간에서 최댓값을 구하려면 극값과 구간의 양 끝에서의 함숫값을 함께 비교해야 한다.
  3. 함수가 증가하면 도함수의 값이 모든 점에서 양수라고 본다. 증가와 도함수의 부호를 일대일로 연결하기 때문이다. 미분가능한 함수에서 도함수의 값이 양수이면 증가하지만, 증가하는 함수라도 어떤 점에서 도함수의 값이 0이 될 수 있다. 다항함수는 도함수의 값이 0이 되는 점이 따로 떨어져 있어서, 삼차함수가 모든 실수에서 증가할 조건을 세울 때는 도함수가 0 이상이라는 조건으로 둔다.

그래프와 방정식·부등식

  1. 그래프의 개형을 그릴 때 극값만 찍고 선을 잇는다. 극값이 그래프의 전부라고 생각하기 때문이다. 증가와 감소를 표로 정리하고, 최고차항의 차수와 부호로 양 끝에서 그래프가 어느 쪽으로 향하는지 정한 뒤에 이어야 한다.
  2. 삼차 이상의 방정식의 실근 개수를 판별식으로 구하려 한다. 이차방정식에서 쓰던 방법을 그대로 옮기기 때문이다. 방정식을 함수와 상수의 비교 꼴로 바꾸어 그래프와 가로선의 교점으로 보거나, 극댓값과 극솟값의 부호를 따져 개수를 판단한다.

속도와 가속도

  1. 위치의 변화량과 움직인 거리를 같은 것으로 본다. 속도를 크기만 있는 양으로 여기기 때문이다. 직선 위를 움직이는 점에서 양의 방향을 정해 두었을 때 속도가 음수이면 그 반대 방향으로 움직인다는 뜻이므로, 방향이 바뀌면 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리가 달라진다. 운동 방향이 바뀌는 순간은 속도가 0이 되면서 부호가 바뀌는 때다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

곡선 위의 점에서 접선을 구할 때와 곡선 밖의 점을 지나는 접선을 구할 때 모두 주어진 점의 미분계수를 기울기로 사용하면 된다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

접선 문제를 하나의 절차로 외우다 보면, 주어진 점이 곡선 위에 있든 밖에 있든 무조건 그 점의 미분계수를 기울기로 쓰게 되기 쉬워요. 실제로는 주어진 점이 곡선 위에 있을 때만 그 점의 미분계수가 접선의 기울기가 되고, 곡선 밖의 점이 주어진 경우에는 접하는 점이 어디인지 아직 알 수 없기 때문에 접점을 미지수로 두어야 해요. 그런 다음 접선이 곡선 밖의 주어진 점을 지난다는 조건을 세워서 접점을 먼저 찾아야 올바른 풀이가 돼요.
곡선 위의 한 점에서 그은 접선은 접점이 아닌 다른 곳에서 곡선과 다시 만날 수 있다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

원의 접선은 접점 한 곳에서만 원과 만나기 때문에, 접선이 항상 곡선과 한 점에서만 만난다고 생각하기 쉬워요. 실제로 접선은 접점에서 곡선과 기울기가 같은 직선이라는 의미일 뿐이에요. 따라서 접선이 접점 이외의 다른 점에서 곡선과 다시 만나는 것은 얼마든지 가능해요.
평균값 정리는 함수의 연속·미분가능 조건을 확인하지 않아도 어떤 함수에나 적용할 수 있다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

결론의 공식 모양만 외우다 보면 조건 확인을 생략하고 싶어지기 쉬워요. 그러나 뾰족한 점처럼 미분가능하지 않은 부분이 있는 함수에는 평균값 정리를 그대로 적용할 수 없어요. 실제로는 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분가능하다는 두 조건이 모두 갖추어졌을 때에만 정리가 성립해요.

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