피어남

뿌리학습 · 중학 수학

경우의 수와 확률

내일 비가 올 가능성이나 뽑기에서 원하는 것이 나올 가능성처럼, 우리는 아직 정해지지 않은 일의 가능성을 수로 나타내고 싶어 한다. 그러려면 먼저 일어날 수 있는 경우가 모두 몇 가지인지 셀 수 있어야 한다. 이 단원에서는 경우의 수를 세는 방법을 익히고, 그것을 바탕으로 확률의 뜻과 성질을 배운다.

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개념 정리

어떤 사건이 일어날 수 있는 가짓수를 경우의 수라고 한다. 세는 방법은 크게 두 가지다. 두 사건이 동시에 일어나지 않고 둘 중 하나가 일어나는 상황이면 각각의 경우의 수를 더하고, 잇따라 일어나면서 앞의 결과와 관계없이 다음 경우의 수가 일정한 상황이면 각각의 경우의 수를 곱한다. 예를 들어 주사위 한 개를 던져 22 이하 또는 55 이상의 눈이 나오는 경우의 수는 2+2=42+2=4이고, 동전 한 개와 주사위 한 개를 함께 던질 때 나오는 경우의 수는 2×6=122\times6=12다.
셀 때는 빠뜨리거나 두 번 세지 않는 것이 중요하다. 수형도를 그리거나 표를 만들어 순서대로 세면 실수를 줄일 수 있다. 또 순서를 따지는지 아닌지를 구분해야 한다. 다섯 명 중에서 회장과 부회장을 뽑는다면 누가 회장인지가 달라지면 다른 경우이므로 5×4=205\times4=20가지다. 그러나 대표 두 명을 뽑는다면 순서가 없어 같은 두 사람이 두 번씩 세어지므로 20÷2=1020\div2=10가지가 된다.
이제 확률이다. 같은 조건에서 실험을 아주 여러 번 되풀이하면 어떤 사건이 일어난 비율, 곧 상대도수가 일정한 값에 가까워지는데, 이 값을 그 사건이 일어날 확률이라고 한다. 각 경우가 일어날 가능성이 모두 같다고 볼 수 있을 때는 셈으로도 구할 수 있다. 일어날 수 있는 모든 경우의 수가 nn이고 그중 사건 AA가 일어나는 경우의 수가 aa이면, AA가 일어날 확률은 an\frac{a}{n}이다. 여기서 각 경우의 가능성이 같다는 전제가 중요하다. 한쪽으로 찌그러진 주사위라면 이 방법을 그대로 쓸 수 없다.
확률에는 기본 성질이 있다. 어떤 사건이 일어날 확률은 항상 00 이상 11 이하다. 절대 일어나지 않는 사건의 확률은 00, 반드시 일어나는 사건의 확률은 11이다. 계산 결과가 11보다 크게 나왔다면 세는 과정이 틀린 것이다. 또 사건 AA가 일어날 확률이 pp이면 AA가 일어나지 않을 확률은 1−p1-p다. '적어도 하나는'처럼 세기 번거로운 문제는 반대 경우를 세어 11에서 빼면 훨씬 간단해진다.
확률을 계산할 때도 경우의 수에서 쓰던 기준이 그대로 이어진다. 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때 둘 중 하나가 일어날 확률은 두 확률을 더하고, 잇따라 일어나면서 앞의 결과가 뒤의 결과에 영향을 주지 않을 때는 두 확률을 곱한다. 주머니에서 공을 꺼낸 뒤 되돌려 놓지 않고 다시 꺼내는 경우처럼 앞의 결과가 뒤에 영향을 주면, 두 번째 확률은 그 상황에 맞게 다시 세어야 한다. 여기서 자주 하는 오해를 짚어 두자. 동전에서 앞면이 네 번 연속 나왔다고 해서 다음에 뒷면이 나올 확률이 커지지는 않는다. 앞면과 뒷면의 가능성이 같은 동전이라면 각각의 던지기는 앞의 결과에 영향을 받지 않으므로 여전히 12\frac{1}{2}다. 또 확률이 12\frac{1}{2}이라는 말은 두 번에 한 번은 반드시 일어난다는 뜻이 아니라, 같은 조건에서 되풀이하는 횟수가 많아질수록 그 비율에 가까워진다는 뜻이다.
고등학교에서는 이 내용이 크게 넓어진다. 경우의 수를 체계적으로 세는 방법으로 순열과 조합을 배우고, 어떤 조건이 주어졌을 때의 확률을 따지는 방법과 확률을 이용해 자료 전체를 추측하는 방법으로 이어진다. 경우를 빠짐없이 세는 습관과 가능성이 같은지 확인하는 태도가 그 바탕이 된다.

이 단원 시험에서 묻는 것

학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.

  • [9수04-05]경우의 수를 구할 수 있다.
  • [9수04-06]확률의 개념과 그 기본 성질을 이해하고, 확률을 구할 수 있다.

자주 하는 착각

경우의 수

  1. 두 사건의 경우의 수를 언제 더하고 언제 곱하는지 구분하지 못한다. 문제에 나오는 '또는'과 '그리고'를 가려 읽지 않기 때문이다. 두 사건이 동시에 일어나지 않고 둘 중 하나가 일어나는 상황이면 더하고, 잇따라 일어나면서 앞의 결과와 관계없이 다음 단계의 경우의 수가 일정한 상황이면 곱한다. 식을 세우기 전에 어느 쪽인지 말로 정리해야 한다.
  2. 경우를 세면서 같은 경우를 두 번 세거나 빠뜨린다. 머릿속으로만 세기 때문이다. 수형도를 그리거나 표를 만들어 순서대로 세면 빠짐이나 중복을 막을 수 있다. 특히 조건이 붙은 문제에서는 조건을 만족하는 것만 남겼는지 확인해야 한다.
  3. 순서가 있는 경우와 순서가 없는 경우를 같은 방법으로 센다. 뽑는다는 말이 같기 때문이다. 다섯 명 중 회장과 부회장을 뽑는 것은 순서가 있어 20가지이지만, 대표 두 명을 뽑는 것은 순서가 없어 같은 묶음이 두 번씩 세어지므로 2로 나눈 10가지다.

확률의 뜻

  1. 확률을 사건이 일어난 횟수로 본다. 몇 번 나왔는지를 세는 활동으로 배우기 때문이다. 확률은 횟수가 아니라 전체에 대한 비율이다. 각 경우가 일어날 가능성이 모두 같다고 볼 수 있을 때, 그 사건이 일어나는 경우의 수를 모든 경우의 수로 나누어 구한다.
  2. 경우의 수의 비로 확률을 구할 때 각 경우가 일어날 가능성이 같다는 전제를 잊는다. 계산 방법만 외우기 때문이다. 이 방법은 각 경우가 일어날 가능성이 모두 같다고 볼 수 있을 때만 쓸 수 있다. 한쪽으로 찌그러진 주사위처럼 가능성이 같지 않은 경우에는 그대로 쓸 수 없다.
  3. 확률이 1보다 큰 값으로 나와도 그대로 답으로 쓴다. 계산 결과를 검토하지 않기 때문이다. 확률은 항상 0 이상 1 이하다. 절대 일어나지 않는 사건의 확률은 0이고, 반드시 일어나는 사건의 확률은 1이다. 1보다 큰 값이 나왔다면 세는 과정이 틀린 것이다.

확률의 계산

  1. 어떤 사건이 일어나지 않을 확률을 처음부터 다시 센다. 두 가지를 따로 구해야 한다고 생각하기 때문이다. 일어나지 않을 확률은 전체인 1에서 일어날 확률을 뺀 값이다. '적어도'라는 말이 들어간 문제에서는 이 방법이 훨씬 빠르다.
  2. 두 사건의 확률을 상황과 관계없이 더한다. 확률도 경우의 수처럼 합치면 된다고 여기기 때문이다. 두 사건이 동시에 일어나지 않는 경우에는 두 확률을 더하고, 잇따라 일어나면서 앞의 결과가 뒤의 결과에 영향을 주지 않는 경우에는 두 확률을 곱한다. 꺼낸 것을 되돌려 놓지 않는 상황처럼 앞의 결과가 뒤에 영향을 주면 두 번째 확률을 그 상황에 맞게 다시 세어야 한다.

확률에 대한 흔한 오해

  1. 동전에서 앞면이 네 번 연속 나왔으니 다음에는 뒷면이 나올 차례라고 본다. 앞뒤가 비슷하게 나와야 한다는 생각이 순서에 대한 기대로 바뀌기 때문이다. 앞면과 뒷면이 나올 가능성이 같은 동전이라면 각각의 던지기는 앞의 결과에 영향을 받지 않으므로, 다음에 뒷면이 나올 확률은 여전히 2분의 1이다.
  2. 확률이 2분의 1이면 두 번에 한 번은 반드시 일어난다고 본다. 확률을 정해진 횟수로 읽기 때문이다. 확률은 같은 조건에서 여러 번 되풀이할 때 기대되는 비율이다. 두 번 던져 앞면이 한 번도 나오지 않을 수 있고, 되풀이하는 횟수가 많아질수록 앞면이 나온 비율이 2분의 1에 가까워지는 경향을 보인다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

두 사건이 동시에 일어나지 않고 둘 중 하나만 일어나는 상황에서는 두 사건의 경우의 수를 곱한다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

문제에서 '또는'과 '그리고'를 꼼꼼히 구분하지 않으면 더하기와 곱하기를 헷갈리기 쉬워요. 둘 중 하나가 일어나는 상황은 경우의 수를 더하고, 두 사건이 잇따라 일어나는 상황은 경우의 수를 곱하는 것이 맞아요. 식을 세우기 전에 어느 쪽 상황인지 말로 먼저 정리해 보면 실수를 줄일 수 있어요.
경우의 수를 셀 때 수형도를 그리거나 표를 만들어 순서대로 세면 빠짐이나 중복을 막을 수 있다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

경우를 머릿속으로만 떠올리다 보면 자신도 모르게 같은 경우를 두 번 세거나 일부를 빠뜨리기 쉬워요. 실제로는 수형도나 표처럼 눈에 보이는 방법으로 순서대로 정리해야 빠짐과 중복을 줄일 수 있어요. 특히 조건이 붙은 문제에서는 모두 나열한 뒤 조건을 만족하는 것만 남겼는지 한 번 더 확인하는 습관이 중요해요.
다섯 명 중 회장과 부회장을 뽑는 경우와 대표 두 명을 뽑는 경우는 모두 '뽑는다'는 표현을 쓰므로 경우의 수가 같다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

'뽑는다'는 말이 같아서 두 상황을 같은 방법으로 세기 쉬워요. 그런데 회장과 부회장처럼 역할이 다를 때는 누가 어느 자리에 뽑히느냐에 따라 다른 경우로 봐야 해서 순서가 중요해요. 반면 대표 두 명처럼 역할 구분이 없을 때는 A와 B를 뽑는 것과 B와 A를 뽑는 것이 같은 경우이므로, 중복해서 센 만큼을 나눠 줘야 해요.

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자주 묻는 질문

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