경우의 수와 확률

이 단원 시험에서 묻는 것

• 경우의 수 세기. 주사위·동전·카드처럼 일어날 수 있는 경우를 빠짐없이, 중복 없이 셉니다. 수형도나 표로 순서대로 나열하면 빠짐과 중복을 막을 수 있습니다.
• 더하는 경우와 곱하는 경우. 두 사건이 동시에 일어나지 않고 둘 중 하나가 일어나면 경우의 수를 더하고, 두 사건이 잇따라 일어나며 앞의 결과와 관계없이 다음 경우의 수가 일정하면 곱합니다. 식을 세우기 전에 어느 상황인지 먼저 정리합니다.
• 여러 가지 경우의 수. 한 줄로 세우기나 대표 뽑기에서는 순서가 중요한지 먼저 따집니다. 회장·부회장처럼 역할이 다르면 순서를 구별해 세고, 대표 두 명처럼 역할이 같으면 같은 두 사람을 한 번만 세었는지 수형도나 표로 확인합니다.
• 확률의 뜻. 각 경우가 일어날 가능성이 모두 같을 때, 확률은 (사건이 일어나는 경우의 수) ÷ (모든 경우의 수)입니다. 같은 실험을 여러 번 되풀이할 때 사건이 일어나는 상대도수가 가까워지는 값으로도 이해하며, 확률은 일어난 횟수가 아니라 전체에 대한 비율입니다.
• 확률의 성질. 확률은 항상 0 이상 1 이하이고, 반드시 일어나는 사건은 1, 절대 일어나지 않는 사건은 0입니다. 어떤 사건이 일어나지 않을 확률은 1에서 그 사건이 일어날 확률을 빼서 구하며, "적어도 한 번" 문제에서 자주 씁니다.
• 확률의 계산. 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때 둘 중 하나가 일어날 확률은 두 확률을 더하고, 서로 영향을 주지 않고 잇따라 일어날 확률은 두 확률을 곱합니다. 꺼낸 것을 되돌려 놓지 않는 문제처럼 앞의 결과가 뒤에 영향을 주면 두 번째 확률을 그 상황에 맞게 다시 셉니다.

자주 하는 착각

1. 두 사건의 경우의 수를 언제 더하고 언제 곱하는지 구분하지 못한다. 문제에 나오는 '또는'과 '그리고'를 가려 읽지 않기 때문이다. 두 사건이 동시에 일어나지 않고 둘 중 하나가 일어나는 상황이면 더하고, 잇따라 일어나면서 앞의 결과와 관계없이 다음 단계의 경우의 수가 일정한 상황이면 곱한다. 식을 세우기 전에 어느 쪽인지 말로 정리해야 한다.
2. 순서가 있는 경우와 순서가 없는 경우를 같은 방법으로 센다. 뽑는다는 말이 같기 때문이다. 다섯 명 중 회장과 부회장을 뽑는 것은 순서가 있어 20가지이지만, 대표 두 명을 뽑는 것은 순서가 없어 같은 묶음이 두 번씩 세어지므로 2로 나눈 10가지다.
3. 어떤 사건이 일어나지 않을 확률을 처음부터 다시 센다. 두 가지를 따로 구해야 한다고 생각하기 때문이다. 일어나지 않을 확률은 전체인 1에서 일어날 확률을 뺀 값이다. '적어도'라는 말이 들어간 문제에서는 이 방법이 훨씬 빠르다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

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