뿌리학습 · 중학 수학
자료의 정리와 해석(도수분포표·상대도수), 대푯값
한 반 학생들의 키를 모두 적어 놓은 종이를 보면 무엇을 알 수 있을까. 숫자가 늘어서 있기만 해서는 전체의 모습이 잘 보이지 않는다. 그래서 자료 전체를 대표하는 값을 정하고, 자료를 구간별로 묶어 표와 그래프로 나타내어 분포를 살핀다. 이 단원에서는 그렇게 정리하는 방법과 정리된 표와 그래프를 읽는 법을 함께 배운다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
15일 무료 · 끝나도 자동 결제 없음 · 이후 월 결제 9,800원부터
개념 정리
자료 전체의 특징을 하나의 값으로 나타낸 것을 대푯값이라 한다. 가장 익숙한 것은 평균이고, 여기에 두 가지가 더 있다. 자료를 작은 것부터 크기순으로 늘어놓았을 때 한가운데 오는 값이 중앙값이고, 가장 많이 나타나는 값이 최빈값이다. 자료의 개수가 짝수이면 가운데 두 값의 평균을 중앙값으로 한다.
어떤 대푯값을 쓸지는 자료의 성격에 따라 정한다. 변량이 인 자료를 보자. 평균은 인데 다섯 개 중 네 개가 평균보다 작다. 이라는 큰 값 하나가 평균을 끌어올렸기 때문이다. 이 자료의 중앙값은 로 자료 대부분과 가깝다. 이렇게 유난히 크거나 작은 값이 섞여 있으면 중앙값이 더 알맞다. 한편 좋아하는 색처럼 수로 나타내지 않는 자료에서는 평균이나 중앙값을 구할 수 없고 최빈값을 쓴다.
자료가 많을 때는 구간으로 묶는다. 자료를 나눈 각 구간을 계급, 구간의 폭을 계급의 크기, 각 계급에 속한 자료의 개수를 도수라 하며, 이를 정리한 표가 도수분포표다. 구간으로 묶으면 전체의 분포가 잘 보이지만 변량 하나하나의 값은 사라진다는 점을 알아 두어야 한다. 원래 값을 그대로 남기고 싶으면 십의 자리를 줄기로, 일의 자리를 잎으로 적는 줄기와 잎 그림을 쓴다.
도수분포표는 그림으로 바꾸면 더 잘 보인다. 가로에 계급, 세로에 도수를 잡고 직사각형을 그린 것이 히스토그램이다. 계급이 이어진 구간이므로 직사각형을 서로 붙여 그리며, 항목이 떨어져 있는 막대그래프와 이 점이 다르다. 각 직사각형의 윗변 한가운데 점을 찍어 선분으로 이으면 도수분포다각형이 되는데, 이때 양 끝에는 도수가 인 계급이 하나씩 더 있다고 보고 가로축과 만나도록 이어 준다.
인원수가 다른 두 반의 성적을 비교하려면 도수만으로는 부족하다. 한 반은 명이고 다른 반은 명이라면 같은 도수 이라도 뜻이 다르기 때문이다. 그래서 각 계급의 도수를 도수의 총합으로 나눈 값인 상대도수를 쓴다. 총합이 인 자료에서 도수가 인 계급의 상대도수는 다. 상대도수는 전체에서 차지하는 비율이므로 각 값은 이상 이하이고 총합은 언제나 이다. 백분율로 나타내려면 을 곱하면 된다.
이런 방법들은 자료를 직접 모아 탐구할 때 쓰인다. 알고 싶은 것을 정하고 자료를 모아 표와 그래프로 나타낸 뒤 결과를 해석하는 과정을 거치며, 이때 컴퓨터나 통계 프로그램 같은 도구를 이용하면 편리하다. 중학교 3학년에서는 여기에 더해 자료가 얼마나 흩어져 있는지를 나타내는 값을 배우고, 두 집단의 분포를 상자 그림으로 견주어 보게 된다.
이 단원 시험에서 묻는 것
학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.
- [9수04-02]자료를 줄기와 잎 그림, 도수분포표, 히스토그램, 도수분포다각형으로 나타내고 해석할 수 있다.
- [9수04-01]중앙값, 최빈값의 뜻을 알고, 자료의 특성에 따라 적절한 대푯값을 선택하여 구할 수 있다.
- [9수04-03]상대도수를 구하고, 상대도수의 분포를 표나 그래프로 나타내고 해석할 수 있다.
자주 하는 착각
대푯값
- 자료를 대표하는 값은 평균뿐이라고 본다. 초등학교에서 평균만 배웠기 때문이다. 자료 전체의 특징을 하나의 값으로 나타낸 것을 대푯값이라 하며 평균 말고도 중앙값과 최빈값이 있다. 자료의 성격에 따라 어떤 값이 더 알맞은지 달라진다.
- 중앙값을 자료가 적힌 순서에서 가운데에 있는 값으로 본다. 가운데라는 말을 적힌 자리로 읽기 때문이다. 중앙값은 자료를 작은 것부터 크기순으로 늘어놓았을 때 한가운데 오는 값이다. 자료의 개수가 짝수이면 가운데 두 값의 평균을 중앙값으로 한다.
- 아주 크거나 작은 값이 섞여 있어도 평균이 가장 알맞다고 본다. 평균이 대표적인 값이라고 배웠기 때문이다. 한 값이 유난히 크면 평균이 그쪽으로 끌려가 자료 대부분과 동떨어진 값이 될 수 있다. 이런 자료에서는 중앙값이 더 알맞을 때가 많다.
- 최빈값은 언제나 하나라고 본다. 대푯값은 하나여야 한다고 생각하기 때문이다. 최빈값은 가장 많이 나타난 값이므로 여러 개일 수도 있고, 모든 값이 한 번씩만 나오면 최빈값이 없다. 또 수가 아닌 자료에도 쓸 수 있어서 좋아하는 색처럼 수로 나타내지 않는 자료의 대푯값이 된다.
도수분포표와 그래프
- 계급의 크기를 계급의 개수로 본다. 크기라는 말을 개수로 받아들이기 때문이다. 계급은 자료를 나눈 구간이고, 계급의 크기는 그 구간의 폭이다. 구간이 몇 개인지는 계급의 개수다.
- 도수분포표만 보면 원래 자료를 그대로 알 수 있다고 본다. 표에 자료가 정리되어 있다고 생각하기 때문이다. 도수분포표에서는 각 구간에 몇 개가 들어 있는지만 남고 변량 하나하나의 값은 사라진다. 원래 값을 살리려면 줄기와 잎 그림처럼 값을 그대로 적는 방법을 쓴다.
- 히스토그램을 막대그래프와 같은 것으로 본다. 둘 다 직사각형으로 그리기 때문이다. 히스토그램은 이어진 구간인 계급을 가로에 놓으므로 직사각형을 서로 붙여 그린다. 막대그래프는 서로 떨어진 항목을 나타내므로 막대 사이를 띄운다.
- 도수분포다각형의 양 끝을 어떻게 처리할지 몰라 선을 그대로 끊는다. 점을 이으면 끝난다고 생각하기 때문이다. 양 끝에 도수가 0인 계급이 하나씩 더 있다고 보고 그 점까지 이어 가로축과 만나게 그린다.
상대도수
- 서로 다른 두 집단을 비교할 때 도수가 큰 쪽이 상대도수도 크다고 본다. 도수와 상대도수를 같은 종류의 값으로 여기기 때문이다. 상대도수는 그 계급의 도수를 그 집단의 도수의 총합으로 나눈 값이라 전체에서 차지하는 비율을 나타낸다. 같은 집단 안에서는 도수가 클수록 상대도수도 크지만, 총합이 다른 두 집단 사이에서는 도수가 더 큰 쪽의 상대도수가 오히려 작을 수 있다.
- 상대도수의 총합을 100으로 적거나 1을 넘는 값을 그대로 둔다. 비율과 백분율을 섞어 쓰기 때문이다. 상대도수의 총합은 언제나 1이다. 백분율로 나타내려면 100을 곱해야 하고, 각 상대도수는 0 이상 1 이하다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
자료를 대표하는 값, 즉 대푯값은 평균 하나뿐이다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
초등학교에서는 평균을 중심으로 배우기 때문에 대푯값이 평균만을 가리킨다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 자료 전체의 특징을 하나의 값으로 나타낸 것을 대푯값이라 하고, 평균·중앙값·최빈값이 모두 여기에 해당해요. 어떤 대푯값이 자료를 더 잘 나타내는지는 자료의 성격에 따라 달라지기 때문에, 상황에 맞게 골라 쓰는 것이 중요해요.
중앙값은 자료를 작은 것부터 크기순으로 늘어놓았을 때 한가운데 오는 값이다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
자료를 따로 정렬하지 않고 적힌 순서 그대로 가운데 위치를 찾으면 된다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 반드시 크기순으로 늘어놓은 뒤 한가운데 값을 찾아야 해요. 또한 자료의 개수가 짝수일 때는 가운데 두 값의 평균을 중앙값으로 해요.
아주 크거나 작은 값이 섞여 있어도 평균이 자료 전체를 가장 잘 대표하는 값이다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
평균이 '대표값'의 대표적인 예로 강조되다 보니, 어떤 상황에서도 평균이 가장 알맞다고 생각하기 쉬워요. 그런데 한 값이 유난히 크거나 작으면 평균이 그쪽으로 끌려가서 나머지 자료 대부분과 동떨어진 값이 되어버릴 수 있어요. 이런 경우에는 중앙값이 자료의 전체적인 모습을 더 잘 나타낼 때가 많답니다.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
자주 묻는 질문
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반