뿌리학습 · 중학 수학
좌표평면과 그래프, 정비례와 반비례
약속 장소를 설명할 때 몇 번째 줄 몇 번째 자리라고 말하면 정확히 전달된다. 두 개의 수로 위치를 나타내는 이 방법이 좌표다. 이 단원에서는 좌표로 점의 자리를 나타내는 방법을 배우고, 변하는 두 양의 관계를 그래프로 나타내고 읽는 법, 그리고 대표적인 두 관계인 정비례와 반비례를 다룬다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
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개념 정리
수직선 두 개를 원점에서 직각으로 만나게 놓은 것을 좌표평면이라 하고, 가로의 수직선을 축, 세로의 수직선을 축이라 한다. 좌표평면 위의 점은 두 수의 짝으로 나타내는데, 가로 방향의 값을 앞에, 세로 방향의 값을 뒤에 적어 처럼 쓴다. 이를 순서쌍이라 하며 순서가 바뀌면 다른 점이 된다. 좌표축은 평면을 네 부분으로 나누는데 오른쪽 위부터 시계 반대 방향으로 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면이라 한다. 축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않는다.
변하는 양의 관계는 그래프로 나타내면 한눈에 보인다. 그래프를 읽을 때는 두 축이 무엇을 나타내는지부터 확인해야 한다. 가로축이 시간, 세로축이 집에서 떨어진 거리라면 오른쪽 위로 올라가는 선은 집에서 멀어지는 중이고, 가로로 평평한 구간은 거리가 변하지 않았다는 뜻이므로 그 시간 동안 멈춰 있었다는 뜻이다. 선의 생김새를 길이나 언덕처럼 읽으면 안 된다. 이렇게 그래프를 보면 값이 늘어나는지 줄어드는지, 어느 구간에서 빠르게 변하는지를 쉽게 알 수 있다.
두 양의 관계 가운데 가장 많이 쓰이는 것이 정비례다. 가 배, 배가 될 때 도 배, 배가 되는 관계를 정비례라 하고 () 꼴로 나타낸다. 한 자루에 원인 연필 자루의 값 원은 로, 값이 자루 수에 정비례한다. 이 관계의 그래프는 원점을 지나는 직선이다. 가 양수이면 오른쪽 위로 향하고 음수이면 오른쪽 아래로 향한다. 함께 늘어난다고 모두 정비례인 것은 아니어서, 두 수의 합이 일정한 관계는 한쪽이 늘면 다른 쪽이 줄지만 정비례도 반비례도 아니다.
반대 방향으로 움직이는 관계도 있다. 가 배, 배가 될 때 가 배, 배가 되는 관계를 반비례라 하고 () 꼴로 나타낸다. 이 관계에서는 와 의 곱이 항상 일정하다. 넓이가 인 직사각형의 가로 와 세로 가 그런 관계로 , 곧 다. 그래프는 직선이 아니라 좌표축에 한없이 가까워지면서도 만나지 않는 두 곡선이다. 가 이면 값을 정할 수 없기 때문에 그래프가 원점 근처에서 끊어져 두 부분으로 나뉜다.
식에서 를 비례상수라고 한다. 그래프가 지나는 점을 하나 알면 비례상수를 구할 수 있는데, 두 관계에서 구하는 방법이 다르다. 정비례 관계라면 원점이 아닌 점에서 를 로 나누고, 반비례 관계라면 그래프 위의 점에서 와 를 곱한다. 예를 들어 정비례 그래프가 점 을 지나면 이어서 이고, 반비례 그래프가 점 을 지나면 여서 다. 같은 점을 지나도 관계가 다르면 식이 달라진다.
여기서 배운 내용은 중학교 2학년의 함수로 이어진다. 한 양이 변할 때 다른 양이 하나씩 정해지는 관계를 함수라 부르게 되고, 정비례 관계는 일차함수의 가장 기본이 되는 꼴로 다시 등장한다. 좌표평면 위에서 그래프를 읽고 그리는 일은 이후 모든 함수 단원의 바탕이 된다.
이 단원 시험에서 묻는 것
학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.
- [9수02-07]정비례, 반비례 관계를 이해하고, 그 관계를 표, 식, 그래프로 나타낼 수 있다.
- [9수02-05]순서쌍과 좌표를 이해하고, 그 편리함을 인식할 수 있다.
- [9수02-06]다양한 상황을 그래프로 나타내고, 주어진 그래프를 해석할 수 있다.
자주 하는 착각
좌표평면
- 순서쌍에서 두 수의 순서를 바꾸어도 같은 점이라고 본다. 두 수가 짝을 이룬다는 점에만 주목하기 때문이다. 순서쌍은 적는 순서가 정해져 있어서 앞이 x좌표, 뒤가 y좌표다. 점 (3, 2)와 점 (2, 3)은 좌표평면에서 서로 다른 자리에 있다.
- 점의 좌표를 읽을 때 위아래를 먼저 읽거나 부호를 놓친다. 눈에 먼저 들어오는 방향부터 읽기 때문이다. 원점을 기준으로 가로 방향으로 얼마나 떨어졌는지를 먼저 읽고 오른쪽이면 양수, 왼쪽이면 음수로 적는다. 그다음 세로 방향을 읽어 위쪽이면 양수, 아래쪽이면 음수로 적는다.
- 사분면의 번호가 시계 방향으로 붙는다고 보거나, 축 위의 점도 어느 사분면에 속한다고 본다. 번호가 도는 방향을 외우지 않았기 때문이다. 오른쪽 위가 제1사분면이고 시계 반대 방향으로 제2, 제3, 제4사분면이다. 좌표축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않는다.
그래프의 해석
- 그래프의 모양을 물체가 움직인 길로 본다. 선의 생김새를 그림처럼 읽기 때문이다. 그래프를 읽기 전에 가로축과 세로축이 무엇을 나타내는지 먼저 확인해야 한다. 시간과 거리를 나타낸 그래프에서 위로 올라가는 선은 언덕을 오르는 것이 아니라 거리가 늘어나는 것이다.
- 그래프에서 가로로 평평한 구간을 되돌아오는 것으로 본다. 선이 멈춰 있는 모습이 어색하게 느껴지기 때문이다. 평평한 구간은 가로축의 값이 변해도 세로축의 값이 변하지 않는다는 뜻이다. 시간과 거리를 나타낸 그래프라면 그 시간 동안 거리가 그대로, 곧 움직이지 않았다는 뜻이다.
정비례
- 한쪽이 커질 때 다른 쪽도 커지면 모두 정비례라고 본다. 함께 늘어나는 모습만 보기 때문이다. 정비례는 x가 2배, 3배가 될 때 y도 2배, 3배가 되는 관계이고 식으로는 y=ax 꼴이다. 두 수의 합이 일정한 관계처럼 함께 늘어나도 정비례가 아닌 경우가 있다.
- 정비례 관계의 그래프를 아무 직선으로나 그린다. 직선이라는 것만 기억하기 때문이다. y=ax의 그래프는 반드시 원점을 지나는 직선이다. a가 양수이면 오른쪽 위로, 음수이면 오른쪽 아래로 향한다.
반비례
- 한쪽이 커질 때 다른 쪽이 작아지면 모두 반비례라고 본다. 반대로 움직인다는 인상만 남기 때문이다. 반비례는 x가 2배, 3배가 될 때 y가 2분의 1배, 3분의 1배가 되는 관계로, 두 값의 곱이 일정하며 식으로는 y=a÷x 꼴이다. 차가 일정한 관계는 반비례가 아니다.
- 반비례 관계의 그래프를 직선으로 그리거나 두 곡선을 이어 그린다. 지금까지 그린 그래프가 대부분 직선이었기 때문이다. 반비례 관계의 그래프는 좌표축에 한없이 가까워지지만 만나지는 않는 두 곡선이다. x가 0일 때는 값을 정할 수 없어 두 곡선이 떨어져 있다.
- 비례상수를 구할 때 좌표를 뒤바꾸어 대입한다. 두 식의 모양이 비슷해 보이기 때문이다. 정비례 관계에서는 y를 x로 나눈 값이 비례상수이고, 반비례 관계에서는 x와 y를 곱한 값이 비례상수다. 그래프가 지나는 점 하나를 알면 비례상수를 구할 수 있다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
순서쌍 (3, 2)와 (2, 3)은 두 수가 같으므로 좌표평면에서 같은 점을 나타낸다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
두 수가 짝을 이룬다는 점에만 주목하다 보면, 적는 순서가 달라도 같은 점이라고 생각하기 쉬워요. 실제로는 순서쌍에서 앞의 수는 x좌표, 뒤의 수는 y좌표로 순서가 정해져 있어요. 그래서 (3, 2)는 x좌표가 3, y좌표가 2인 점이고, (2, 3)은 x좌표가 2, y좌표가 3인 점으로, 좌표평면에서 서로 다른 자리에 놓이게 돼요.
점의 좌표를 읽을 때 가로 방향을 먼저 읽어 오른쪽이면 양수, 왼쪽이면 음수로 적고, 그다음 세로 방향을 읽어 위쪽이면 양수, 아래쪽이면 음수로 적는다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
눈에 먼저 들어오는 방향부터 읽다 보면 세로 방향을 먼저 읽거나 부호를 빠뜨리기 쉬워요. 실제로는 원점을 기준으로 가로 방향을 먼저 읽고, 그다음 세로 방향을 읽는 순서가 정해져 있어요. 가로 방향은 오른쪽이면 양수, 왼쪽이면 음수이고, 세로 방향은 위쪽이면 양수, 아래쪽이면 음수임을 함께 확인하면 부호도 놓치지 않을 수 있어요.
사분면의 번호는 오른쪽 위에서 시작하여 시계 방향으로 제1, 제2, 제3, 제4사분면 순서로 붙는다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
번호가 도는 방향을 따로 확인하지 않으면 시계 방향이라고 자연스럽게 떠올리기 쉬워요. 실제로는 제1사분면(오른쪽 위)에서 시작해 시계 반대 방향으로 제2, 제3, 제4사분면 순서가 되고, 좌표축 위에 있는 점은 어느 사분면에도 속하지 않아요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
자주 묻는 질문
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반