뿌리학습 · 중1 수학 · 함수

정비례와 반비례는 어떻게 구분하나요?

Q: 그래프가 점 (3, 12)를 지나는 정비례 관계의 식은 무엇일까요?

y=4x입니다. 정비례의 비례상수는 y/x=12/3=4이므로 y=4x입니다.

Q: 그래프가 점 (3, 12)를 지나는 반비례 관계의 식은 무엇일까요?

y=36/x입니다. 반비례의 비례상수는 xy=3×12=36이므로 y=36/x입니다.

정비례는 x가 2배, 3배가 될 때 y도 2배, 3배가 되는 관계이고, 반비례는 x가 2배, 3배가 될 때 y가 2분의 1배, 3분의 1배가 되는 관계입니다. 식으로는 정비례가

y=ax

, 반비례가

y=\frac{a}{x}

(

a\ne0

) 꼴이어서, 정비례는

\frac{y}{x}

가, 반비례는

xy

가 일정한지로 구분합니다.

정비례와 반비례 비교
구분	정비례	반비례
식	$y=ax$	$y=\frac{a}{x}$
일정한 값	$\frac{y}{x}=a$	$xy=a$
그래프	원점을 지나는 직선	축에 가까워지는 두 곡선
예	1분에 3 L씩 받는 물의 양	사탕 24개를 나눈 1인당 개수

함께 늘어나면 모두 정비례인가요?

아닙니다. 정비례는 x가 2배, 3배가 될 때 y도 정확히 2배, 3배가 되는 관계입니다. 나이와 키처럼 함께 커지더라도 배수 관계가 아니면 정비례가 아닙니다. 확인하려면

\frac{y}{x}

가 늘 같은 값인지 봅니다. 1분에 물을

3

L씩 받으면

x

분 동안 받은 물은

y=3x

이고, 어느 순간이든

\frac{y}{x}=3

으로 일정하므로 정비례입니다.

한쪽이 줄면 모두 반비례인가요?

아닙니다. 반비례는 두 값의 곱이 일정한 관계입니다. 사탕

24

개를

x

명이 똑같이 나누면 한 사람이 받는 개수는

y=\frac{24}{x}

이고,

xy=24

로 곱이 늘 같으므로 반비례입니다. 반면 두 수의 합이

10

으로 일정한 관계에서도 한쪽이 늘면 다른 쪽이 줄지만, 곱이 일정하지 않으므로 반비례가 아닙니다. 반대로 움직인다는 인상보다 곱이 일정한지를 확인해야 합니다.

그래프는 어떻게 다른가요?

정비례

y=ax

의 그래프는 원점을 지나는 직선이고,

a

가 양수이면 오른쪽 위로, 음수이면 오른쪽 아래로 향합니다. 반비례

y=\frac{a}{x}

의 그래프는 좌표축에 한없이 가까워지지만 만나지 않는 두 곡선입니다.

x

가

0

일 때는 값을 정할 수 없어 두 곡선이 떨어져 있습니다. 그래프 위의 한 점을 알면 비례상수를 구할 수 있는데, 정비례는

y

를

x

로 나누고 반비례는

x

와

y

를 곱합니다.

이 단원 시험에서 묻는 것

학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.

[9수02-07]정비례, 반비례 관계를 이해하고, 그 관계를 표, 식, 그래프로 나타낼 수 있다.

좌표평면과 그래프, 정비례와 반비례 시험 포인트 보기 →

자주 하는 착각

착각 · 한쪽이 커질 때 다른 쪽도 커지면 정비례다.

왜 헷갈릴까 · 함께 늘어나는 모습만 보기 때문입니다.

바른 설명 · x가 2배일 때 y도 2배가 되어야 정비례입니다. y를 x로 나눈 값이 일정한지 확인합니다.

착각 · 한쪽이 커질 때 다른 쪽이 작아지면 반비례다.

왜 헷갈릴까 · 반대로 움직인다는 인상만 남기 때문입니다.

바른 설명 · 반비례는 두 값의 곱이 일정한 관계입니다. 합이 일정한 관계는 반비례가 아닙니다.

착각 · 반비례의 그래프도 직선이다.

왜 헷갈릴까 · 그동안 그린 그래프가 대부분 직선이었기 때문입니다.

바른 설명 · 좌표축에 가까워지지만 만나지 않는 두 곡선입니다. x가 0인 곳에서 끊어져 있습니다.

스스로 확인

그래프가 점

(3,\ 12)

를 지나는 정비례 관계의 식은 무엇일까요?정답 보기

$y=4x$ 입니다.

정비례의 비례상수는

\frac{y}{x}=\frac{12}{3}=4

이므로

y=4x

입니다.

그래프가 점

(3,\ 12)

를 지나는 반비례 관계의 식은 무엇일까요?정답 보기

$y=\frac{36}{x}$ 입니다.

반비례의 비례상수는

xy=3\times12=36

이므로

y=\frac{36}{x}

입니다.

이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?

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