좌표평면과 그래프, 정비례와 반비례

이 단원 시험에서 묻는 것

• 순서쌍과 좌표. 순서쌍 (x, y)에서 앞의 수가 x좌표, 뒤의 수가 y좌표이므로 점 (3, 2)와 점 (2, 3)은 서로 다른 점입니다. 좌표평면에서 점의 좌표를 읽을 때는 원점에서 가로 방향을 먼저, 세로 방향을 나중에 읽습니다.
• 사분면. 오른쪽 위가 제1사분면이고 시계 반대 방향으로 제2, 제3, 제4사분면이며, 좌표축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않습니다. a < 0, b > 0일 때 점 (a, b)가 제2사분면에 있는 것처럼, 좌표의 부호로 사분면을 판단하는 문제가 나옵니다.
• 그래프의 해석. 그래프를 읽기 전에 가로축과 세로축이 무엇을 나타내는지 먼저 확인합니다. 시간에 따른 거리를 나타낸 그래프에서 위로 올라가는 구간은 그 거리가 늘어나는 것이고, 가로로 평평한 구간은 그동안 세로축이 나타내는 값이 변하지 않았다는 뜻입니다.
• 정비례. x가 2배, 3배가 될 때 y도 2배, 3배가 되는 관계로 식은 y = ax (a ≠ 0)입니다. 그래프는 원점을 지나는 직선이며, a > 0이면 제1·3사분면을, a < 0이면 제2·4사분면을 지납니다.
• 반비례. x가 2배, 3배가 될 때 y가 1/2배, 1/3배가 되는 관계로, x와 y의 곱이 일정하며 식은 y = a/x (a ≠ 0, x ≠ 0)입니다. 그래프는 좌표축과 만나지 않는 두 곡선이고, a > 0이면 제1·3사분면, a < 0이면 제2·4사분면에 있습니다.
• 비례상수 구하기와 활용. 그래프가 지나는 점 (x, y) 하나를 알면 x ≠ 0일 때 정비례에서는 y ÷ x로, 반비례에서는 x × y로 a를 구합니다. 일정한 속력으로 걸을 때의 시간과 거리는 정비례, 일정한 양의 일을 같은 능력의 사람들이 나누어 할 때의 사람 수와 걸리는 시간은 반비례입니다.

자주 하는 착각

1. 사분면의 번호가 시계 방향으로 붙는다고 보거나, 축 위의 점도 어느 사분면에 속한다고 본다. 번호가 도는 방향을 외우지 않았기 때문이다. 오른쪽 위가 제1사분면이고 시계 반대 방향으로 제2, 제3, 제4사분면이다. 좌표축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않는다.
2. 정비례 관계의 그래프를 아무 직선으로나 그린다. 직선이라는 것만 기억하기 때문이다. y=ax의 그래프는 반드시 원점을 지나는 직선이다. a가 양수이면 오른쪽 위로, 음수이면 오른쪽 아래로 향한다.
3. 반비례 관계의 그래프를 직선으로 그리거나 두 곡선을 이어 그린다. 지금까지 그린 그래프가 대부분 직선이었기 때문이다. 반비례 관계의 그래프는 좌표축에 한없이 가까워지지만 만나지는 않는 두 곡선이다. x가 0일 때는 값을 정할 수 없어 두 곡선이 떨어져 있다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

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