피어남

뿌리학습 · 고등 수학

도형의 이동

도형의 이동은 좌표평면 위의 점이나 도형을 옮기거나 뒤집는 방법이다. 일정한 방향으로 미끄러지듯 옮기는 평행이동과, 축이나 직선을 기준으로 뒤집는 대칭이동을 배운다. 두 이동 모두 도형의 모양과 크기는 그대로 두고 위치만 바꾼다는 점이 중요하며, 이를 이용하면 최단 거리 같은 문제도 간단하게 풀 수 있다.

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개념 정리

점 (x,y)(x, y)를 xx축의 방향으로 aa만큼, yy축의 방향으로 bb만큼 평행이동하면 점 (x+a,y+b)(x+a, y+b)가 된다. aa가 양수면 오른쪽, 음수면 왼쪽으로 옮기고, bb가 양수면 위쪽, 음수면 아래쪽으로 옮긴다. 예를 들어 점 (2,−5)(2, -5)를 xx축의 방향으로 33만큼, yy축의 방향으로 −4-4만큼 옮기면 (5,−9)(5, -9)가 된다.
도형의 방정식을 평행이동할 때는 방향이 반대로 보인다. 방정식 f(x,y)=0f(x, y)=0이 나타내는 도형을 xx축의 방향으로 aa만큼, yy축의 방향으로 bb만큼 평행이동한 도형의 방정식은 f(x−a,y−b)=0f(x-a, y-b)=0이다. 옮겨진 도형 위의 점 (x,y)(x, y)는 원래 도형 위의 점 (x−a,y−b)(x-a, y-b)에서 옮겨 온 것이기 때문이다. 예를 들어 직선 y=2x+1y=2x+1을 xx축의 방향으로 22만큼, yy축의 방향으로 −3-3만큼 옮기면 y+3=2(x−2)+1y+3=2(x-2)+1, 즉 y=2x−6y=2x-6이 된다. 원을 평행이동하면 중심만 옮겨지고 반지름은 변하지 않는다.
대칭이동은 기준에 따라 네 가지를 다룬다. 점 (x,y)(x, y)를 xx축에 대하여 대칭이동하면 (x,−y)(x, -y), yy축에 대하여 대칭이동하면 (−x,y)(-x, y), 원점에 대하여 대칭이동하면 (−x,−y)(-x, -y), 직선 y=xy=x에 대하여 대칭이동하면 (y,x)(y, x)가 된다. 도형의 방정식도 같은 규칙을 따른다. xx축에 대한 대칭이동은 yy 대신 −y-y를, yy축에 대한 대칭이동은 xx 대신 −x-x를 넣고, 직선 y=xy=x에 대한 대칭이동은 xx와 yy를 서로 바꾼다.
두 이동을 연달아 할 때는 순서가 중요하다. 평행이동한 뒤 대칭이동한 결과와 대칭이동한 뒤 평행이동한 결과는 일반적으로 다르므로, 주어진 순서대로 하나씩 적용해야 한다.
대칭이동은 최단 거리 문제에 자주 쓰인다. 두 점 AA, BB가 xx축의 같은 쪽에 있고 점 PP가 xx축 위를 움직일 때, 점 AA를 xx축에 대하여 대칭이동한 점을 A′A'이라 하면 AP‾=A′P‾\overline{AP}=\overline{A'P}이다. 따라서 AP‾+PB‾=A′P‾+PB‾≥A′B‾\overline{AP}+\overline{PB}=\overline{A'P}+\overline{PB}\ge\overline{A'B}이고, 최솟값은 선분 A′BA'B의 길이다. 이때 등호는 점 PP가 선분 A′BA'B와 xx축의 교점에 있을 때 성립한다.
이 단원은 앞에서 배운 좌표, 직선의 방정식, 원의 방정식을 모두 사용한다. 그리고 이후 함수의 그래프를 옮기거나 뒤집는 내용, 역함수의 그래프가 직선 y=xy=x에 대하여 대칭이라는 성질로 이어진다.

이 단원 시험에서 묻는 것

학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.

  • [10공수2-01-06]평행이동을 탐구하고, 실생활과 연결하여 문제를 해결할 수 있다.
  • [10공수2-01-07]원점, x축, y축, 직선 y=x에 대한 대칭이동을 탐구하고, 실생활과 연결하여 문제를 해결할 수 있다.

자주 하는 착각

평행이동

  1. 도형의 방정식을 x축 방향으로 a만큼 평행이동할 때 x 대신 x+a를 넣는다. 점을 옮길 때 좌표에 a를 더하는 것과 같게 생각하기 때문이다. 방정식에서는 반대로 x 대신 x-a, y 대신 y-b를 넣어야 한다. 옮겨진 도형 위의 점은 원래 도형 위의 점에서 a, b만큼 이동해 온 것이기 때문이다.
  2. x축의 방향으로 -3만큼 평행이동하라는 말을 오른쪽으로 3만큼 옮기는 것으로 읽는다. 이동량의 부호를 방향과 따로 떼어 생각하기 때문이다. -3만큼 이동은 왼쪽으로 3만큼 옮기는 것이고, 점의 x좌표에서 3을 뺀다.
  3. 평행이동하면 도형의 모양이나 크기도 바뀐다고 본다. 식이 바뀌니 도형도 달라진다고 생각하기 때문이다. 평행이동은 도형을 미끄러지듯 옮기는 것이라 모양과 크기는 그대로다. 원을 평행이동하면 중심만 움직이고 반지름은 변하지 않는다.
  4. 직선이나 원을 x축 방향과 y축 방향으로 모두 평행이동할 때 x만 바꾸고 y는 그대로 둔다. 한 방향 이동만 신경 쓰기 때문이다. 주어진 방향의 이동을 모두 반영해야 한다. x축 방향으로 a, y축 방향으로 b만큼 이동하면 x 대신 x-a, y 대신 y-b를 넣는다. 한 방향으로만 이동할 때는 그 방향의 문자만 바꾸고 다른 문자는 그대로 둔다.

대칭이동

  1. x축에 대한 대칭이동과 y축에 대한 대칭이동에서 부호를 바꾸는 좌표를 뒤바꾼다. 'x축'이라는 말 때문에 x좌표를 바꾸려 하기 때문이다. x축에 대하여 대칭이동하면 x좌표는 그대로이고 y좌표의 부호가 바뀐다. y축에 대하여 대칭이동하면 x좌표의 부호가 바뀐다.
  2. 직선 y=x에 대한 대칭이동을 부호를 바꾸는 것으로 착각한다. 다른 대칭이동이 모두 부호를 바꾸기 때문이다. 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 x좌표와 y좌표가 서로 바뀐다. 점 (3, -2)는 (-2, 3)이 된다.
  3. 원점에 대한 대칭이동에서 한 좌표의 부호만 바꾼다. 축에 대한 대칭이동과 섞어 생각하기 때문이다. 원점에 대하여 대칭이동하면 x좌표와 y좌표의 부호가 모두 바뀐다.
  4. 도형의 방정식을 x축에 대하여 대칭이동할 때 x에 -x를 넣는다. 점의 규칙과 방정식의 규칙을 연결하지 못하기 때문이다. x축에 대한 대칭이동은 y좌표의 부호가 바뀌는 것이므로 방정식에서는 y 대신 -y를 넣는다.

이동의 결합과 활용

  1. 평행이동과 대칭이동을 연달아 할 때 순서를 바꿔도 결과가 같다고 본다. 두 이동이 각각 간단하기 때문이다. 순서를 바꾸면 결과가 달라지는 경우가 많으므로 문제에 주어진 순서대로 적용해야 한다.
  2. 축 위의 점을 지나는 최단 거리 문제에서 대칭점을 잘못된 축에 대하여 잡는다. 대칭이동을 쓰는 이유를 떠올리지 못하기 때문이다. 점 P가 x축 위를 움직이면 한 점을 x축에 대하여 대칭이동해야 거리가 같게 유지되고, 두 점을 잇는 선분의 길이가 최솟값이 된다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

도형의 방정식을 x축 방향으로 a만큼 평행이동할 때, x 대신 x+a를 넣어야 한다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

점을 평행이동할 때는 x좌표에 a를 더하므로, 방정식에서도 똑같이 x+a를 넣으면 된다고 생각하기 쉬워요. 하지만 방정식에서는 옮겨진 도형 위의 점이 원래 도형 위의 점에서 a만큼 이동해 온 것이므로, 새 점의 x좌표에서 a를 뺀 값이 원래 방정식을 만족해야 해요. 그래서 실제로는 x 대신 x-a를 넣어야 맞아요.
x축의 방향으로 -3만큼 평행이동하면 점이 왼쪽으로 3만큼 이동하여 x좌표에서 3을 뺀 값이 된다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

이동량 앞의 '-' 부호를 '크기가 3인 이동'과 따로 떼어 읽으면, 오른쪽으로 3만큼 옮기는 것처럼 느껴지기 쉬워요. 실제로는 '-3만큼'이라는 표현 자체가 왼쪽 방향으로 3만큼 이동한다는 뜻을 한꺼번에 담고 있어요. 따라서 점의 x좌표에 -3을 더하는, 즉 x좌표에서 3을 빼는 것이 올바른 이동이에요.
도형을 평행이동하면 식이 바뀌므로 도형의 모양이나 크기도 함께 바뀐다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

식이 바뀌면 도형 자체도 달라진다고 느끼기 쉬워요. 하지만 평행이동은 도형을 미끄러지듯 옮기는 것이라, 위치만 달라질 뿐 모양과 크기는 변하지 않아요. 예를 들어 원을 평행이동하면 중심의 좌표는 바뀌지만 반지름은 그대로예요.

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