도형의 이동

이 단원 시험에서 묻는 것

• 점의 평행이동. 점 (x, y)를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동하면 (x + a, y + b)가 됩니다. a가 음수이면 왼쪽으로, b가 음수이면 아래쪽으로 옮기는 것입니다.
• 도형의 평행이동. 방정식 f(x, y) = 0이 나타내는 도형을 같은 방법으로 평행이동하면 x 대신 x − a, y 대신 y − b를 넣은 f(x − a, y − b) = 0이 됩니다. 점을 옮길 때와 부호가 반대이며, 평행이동해도 도형의 모양과 크기는 그대로라 원은 중심만 옮겨집니다.
• 점의 대칭이동. 점 (x, y)를 x축에 대하여 대칭이동하면 (x, −y), y축에 대하여 (−x, y), 원점에 대하여 (−x, −y), 직선 y = x에 대하여 (y, x)가 됩니다. 직선 y = x에 대한 대칭이동은 부호를 바꾸는 것이 아니라 두 좌표를 서로 바꾸는 것입니다.
• 도형의 대칭이동. 방정식에서 x축에 대한 대칭이동은 y 대신 −y를, y축에 대한 대칭이동은 x 대신 −x를, 원점에 대한 대칭이동은 x 대신 −x와 y 대신 −y를 넣고, 직선 y = x에 대한 대칭이동은 x와 y를 서로 바꿉니다.
• 이동을 이어서 할 때. 평행이동과 대칭이동을 연달아 할 때는 문제에 주어진 순서대로 하나씩 적용합니다. 순서를 바꾸면 결과가 달라질 수 있으므로 순서를 임의로 바꾸지 않습니다.
• 대칭이동을 이용한 최단 거리. 두 점 A, B가 x축의 같은 쪽에 있을 때 x축 위의 점 P에 대한 AP + PB의 최솟값은, A를 x축에 대하여 대칭이동한 점 A′과 B를 이은 선분 A′B의 길이입니다. 이때 P는 선분 A′B가 x축과 만나는 점입니다.

자주 하는 착각

1. 도형의 방정식을 x축 방향으로 a만큼 평행이동할 때 x 대신 x+a를 넣는다. 점을 옮길 때 좌표에 a를 더하는 것과 같게 생각하기 때문이다. 방정식에서는 반대로 x 대신 x-a, y 대신 y-b를 넣어야 한다. 옮겨진 도형 위의 점은 원래 도형 위의 점에서 a, b만큼 이동해 온 것이기 때문이다.
2. x축에 대한 대칭이동과 y축에 대한 대칭이동에서 부호를 바꾸는 좌표를 뒤바꾼다. 'x축'이라는 말 때문에 x좌표를 바꾸려 하기 때문이다. x축에 대하여 대칭이동하면 x좌표는 그대로이고 y좌표의 부호가 바뀐다. y축에 대하여 대칭이동하면 x좌표의 부호가 바뀐다.
3. 직선 y=x에 대한 대칭이동을 부호를 바꾸는 것으로 착각한다. 다른 대칭이동이 모두 부호를 바꾸기 때문이다. 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 x좌표와 y좌표가 서로 바뀐다. 점 (3, -2)는 (-2, 3)이 된다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

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