피어남

뿌리학습 · 고등 수학

평면좌표와 직선의 방정식

이 단원에서는 좌표평면 위의 점과 직선을 수로 다루는 방법을 배운다. 두 점이 얼마나 떨어져 있는지, 선분을 일정한 비율로 나누는 점이 어디인지, 두 직선이 평행한지 수직인지, 점이 직선에서 얼마나 떨어져 있는지를 모두 좌표 계산으로 판단할 수 있다. 그림을 그리지 않아도 식만으로 도형의 관계를 알아내는 힘이 여기서 시작된다.

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개념 정리

먼저 두 점 사이의 거리다. 두 점 A(x1,y1)A(x_1, y_1), B(x2,y2)B(x_2, y_2)를 이으면, 가로 거리 ∣x2−x1∣|x_2-x_1|과 세로 거리 ∣y2−y1∣|y_2-y_1|을 두 변으로 하는 직각삼각형이 생긴다. 선분 ABAB는 이 직각삼각형의 빗변이므로 피타고라스 정리에 의해 AB‾=(x2−x1)2+(y2−y1)2\overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}이다. 좌표를 빼는 순서를 바꿔도 제곱을 하므로 결과는 같다. 다만 음수 좌표를 뺄 때는 부호에 주의해야 한다. 예를 들어 4−(−2)4-(-2)는 22가 아니라 66이다.
다음은 선분의 내분이다. 선분 ABAB 위의 점 PP가 AP‾:PB‾=m:n\overline{AP}:\overline{PB}=m:n(mm, nn은 양수)을 만족할 때, 점 PP는 선분 ABAB를 m:nm:n으로 내분한다고 한다. 수직선 위에서 A(a)A(a), B(b)B(b)라 하면 내분점의 좌표는 mb+nam+n\frac{mb+na}{m+n}이다. 비의 앞 수 mm이 AA가 아니라 반대쪽 끝점 BB의 좌표에 곱해진다는 점이 핵심이다. PP가 AA에서 전체의 mm+n\frac{m}{m+n}만큼 BB 쪽으로 간 점이기 때문이다. 좌표평면에서는 xx좌표와 yy좌표에 각각 같은 방식을 적용한다. 중점은 1:11:1로 내분하는 특별한 경우다.
두 직선의 평행과 수직은 기울기로 판단한다. 기울기가 mm, m′m'인 두 직선이 평행할 조건은 m=m′m=m'이고 yy절편이 다른 것이다. yy절편까지 같으면 두 직선은 일치한다. 두 직선이 수직일 조건은 mm′=−1mm'=-1이다. 그래서 기울기가 22인 직선에 수직인 직선의 기울기는 12\frac{1}{2}이 아니라 −12-\frac{1}{2}이다. 역수를 취하는 것과 부호를 바꾸는 것을 함께 기억해야 한다. 한편 x=3x=3처럼 yy축에 평행한 직선은 기울기가 없어서 이 조건을 쓸 수 없다. 이런 직선까지 한 번에 확인하려면 두 직선을 a1x+b1y+c1=0a_1x+b_1y+c_1=0, a2x+b2y+c2=0a_2x+b_2y+c_2=0 꼴로 나타낸 뒤, a1a2+b1b2=0a_1a_2+b_1b_2=0이면 수직이라는 조건을 쓰면 된다.
마지막은 점과 직선 사이의 거리다. 점 (x1,y1)(x_1, y_1)과 직선 ax+by+c=0ax+by+c=0 사이의 거리는 ∣ax1+by1+c∣a2+b2\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}이다. 이 공식은 직선이 ax+by+c=0ax+by+c=0 꼴로 정리되어 있을 때만 쓸 수 있으므로, y=2x+1y=2x+1처럼 주어지면 먼저 2x−y+1=02x-y+1=0으로 고쳐야 한다. 거리는 음수가 될 수 없으므로 분자에 절댓값을 씌운다. 평행한 두 직선 사이의 거리는 한 직선 위의 아무 점을 잡아 다른 직선까지의 거리를 구하면 된다.
이 단원의 도구들은 다음 단원으로 그대로 이어진다. 원과 직선이 만나는지 판단할 때는 원의 중심과 직선 사이의 거리를, 원의 접선을 구할 때는 반지름과 접선이 수직이라는 조건을 쓴다. 도형을 옮기거나 뒤집는 도형의 이동에서도 점의 좌표와 직선의 방정식을 다루는 이 방법이 기본이 된다.

이 단원 시험에서 묻는 것

학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.

  • [10공수2-01-01]선분의 내분을 이해하고, 내분점의 좌표를 계산할 수 있다.
  • [10공수2-01-02]두 직선의 평행 조건과 수직 조건을 탐구하고 이해한다.
  • [10공수2-01-03]점과 직선 사이의 거리를 구하고, 관련된 문제를 해결할 수 있다.

자주 하는 착각

두 점 사이의 거리

  1. 두 점 사이의 거리를 가로 거리와 세로 거리를 더한 값으로 본다. 좌표평면에서 오른쪽으로 몇 칸, 위로 몇 칸 움직였는지를 세는 습관 때문이다. 두 점 사이의 거리는 그 가로와 세로를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이므로, 피타고라스 정리로 구해야 한다.
  2. 음수 좌표를 뺄 때 부호를 놓친다. 예를 들어 4와 -2의 차를 2로 계산한다. 빼는 수가 음수이면 더하는 것과 같다는 점을 놓치기 때문이다. 좌표의 차는 항상 큰 쪽에서 작은 쪽을 빼는 크기로 생각하면 실수가 줄어든다.
  3. 제곱의 합까지만 구하고 제곱근을 씌우지 않는다. 계산 과정의 마지막 단계를 답으로 착각하기 때문이다. 거리는 길이이므로 제곱의 합에 제곱근을 씌워야 한다.

선분의 내분

  1. 선분을 m:n으로 내분하는 점을 구할 때 비의 앞 수를 가까운 끝점의 좌표에 곱한다. 비의 순서와 끝점의 순서를 그대로 짝지으려 하기 때문이다. 선분 AB를 m:n으로 내분하는 점은 B의 좌표에 m을, A의 좌표에 n을 곱해 더한 뒤 m+n으로 나눈다. 반대쪽 끝점에 곱한다고 기억해야 한다.
  2. 가중치를 곱해 더한 뒤 m+n으로 나누는 것을 빠뜨리거나, 중점처럼 2로 나눈다. 중점 공식이 먼저 익숙하기 때문이다. 중점은 1:1로 내분하는 특별한 경우일 뿐이고, 일반적인 내분에서는 비의 합으로 나눈다.

두 직선의 평행과 수직

  1. 수직인 직선의 기울기를 원래 기울기의 역수로만 바꾸고 부호는 그대로 둔다. '역수'라는 말만 기억하기 때문이다. 기울기가 있는 두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 -1이므로, 역수를 취하고 부호도 바꿔야 한다. 기울기가 2이면 수직인 직선의 기울기는 -1/2이다. x=3처럼 y축에 평행한 직선은 기울기가 없으므로, 이런 직선에 수직인 직선은 x축에 평행한 y=k 꼴의 직선이다.
  2. 기울기가 같으면 무조건 평행하다고 본다. 평행의 조건으로 기울기만 배우기 때문이다. 기울기가 같고 y절편까지 같으면 두 직선은 평행한 것이 아니라 일치한다. 평행하려면 기울기는 같고 y절편은 달라야 한다.
  3. 일반형으로 주어진 두 직선에서 평행 조건과 수직 조건을 뒤바꿔 쓴다. 두 조건 모두 계수를 다루는 식이라 헷갈리기 때문이다. 기울기로 되돌려 생각하면 구분된다. 기울기가 있는 두 직선에서 수직은 기울기의 곱이 -1, 평행은 기울기가 같은 경우다. 기울기가 없는 직선이 섞여 있으면 일반형의 수직 조건으로 확인한다.

점과 직선 사이의 거리

  1. 직선을 일반형으로 정리하지 않고 공식에 대입한다. y=2x+1처럼 주어진 식의 계수를 그대로 쓰기 때문이다. 공식은 ax+by+c=0 꼴을 전제로 하므로, 먼저 모든 항을 한쪽으로 옮겨 정리해야 한다.
  2. 분모에 제곱근을 씌우지 않거나 분자의 절댓값을 빠뜨린다. 공식의 모양을 부분적으로만 기억하기 때문이다. 거리는 음수가 될 수 없으므로 분자에는 절댓값이, 분모에는 계수 제곱의 합의 제곱근이 들어간다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

좌표평면에서 두 점 사이의 거리는 가로 거리와 세로 거리를 더한 값이다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

좌표평면에서 한 점에서 다른 점으로 이동할 때 오른쪽으로 몇 칸, 위로 몇 칸 움직였는지를 세다 보면 그 두 값을 그냥 더하고 싶어지기 쉬워요. 하지만 두 점을 직접 이은 선분은 가로 이동과 세로 이동을 합친 경로가 아니라, 가로 거리와 세로 거리를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변에 해당해요. 실제로는 피타고라스 정리를 이용해 빗변의 길이를 구하는 방식으로 두 점 사이의 거리를 계산해야 해요.
4와 -2의 차를 구할 때 두 수의 차는 6이다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

빼는 수가 음수일 때 그냥 두 수의 크기만 보고 4-2=2로 계산하기 쉬워요. 실제로는 음수를 빼면 더하는 것과 같으므로 4-(-2)=4+2=6이 올바른 계산이에요. 좌표 사이의 차를 구할 때 이 점을 놓치면 거리나 기울기 계산에서 틀린 값이 나올 수 있어요.
두 점 사이의 거리는 좌표 차이의 제곱의 합을 구하면 된다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

계산 중간에 제곱의 합을 구한 뒤 그 값을 최종 답으로 착각하기 쉬워요. 거리는 길이를 나타내는 값이므로, 제곱의 합에서 멈추지 않고 반드시 제곱근을 씌워야 올바른 거리가 돼요.

나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.

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