평면좌표와 직선의 방정식

이 단원 시험에서 묻는 것

• 선분의 내분점. 점 P가 선분 AB를 AP : PB = m : n으로 내분하면 P의 x좌표는 (m × x₂ + n × x₁) ÷ (m + n)이고 y좌표도 같은 방법으로 구합니다(A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)). 비의 앞 수 m은 B의 좌표에, 뒤의 수 n은 A의 좌표에 곱하며, 중점은 1 : 1로 내분하는 경우입니다.
• 직선의 방정식. 기울기와 지나는 한 점, 지나는 두 점, 또는 두 절편이 주어지면 직선의 방정식을 구합니다. x = k처럼 y축에 평행한 직선은 기울기가 정의되지 않으므로 따로 다룹니다.
• 두 직선의 평행과 수직. 기울기가 같은 두 직선은 y절편이 다르면 평행하고, y절편도 같으면 일치합니다. 기울기가 있는 두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 −1이어서 기울기가 2인 직선에 수직인 직선의 기울기는 −1/2이고, x = k 꼴과 y = k 꼴의 두 직선도 서로 수직입니다.
• 점과 직선 사이의 거리. 점 (x₁, y₁)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리는 |ax₁ + by₁ + c| ÷ √(a² + b²)입니다. y = 2x + 1처럼 주어진 직선은 먼저 2x − y + 1 = 0처럼 모든 항을 한쪽으로 옮겨 정리한 뒤 대입합니다.
• 활용. 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 한 변의 길이를 밑변으로, 나머지 꼭짓점과 그 변을 지나는 직선 사이의 거리를 높이로 구합니다. 평행한 두 직선 사이의 거리, 선분의 수직이등분선의 방정식을 구하는 문제도 나옵니다.

자주 하는 착각

1. 선분을 m:n으로 내분하는 점을 구할 때 비의 앞 수를 가까운 끝점의 좌표에 곱한다. 비의 순서와 끝점의 순서를 그대로 짝지으려 하기 때문이다. 선분 AB를 m:n으로 내분하는 점은 B의 좌표에 m을, A의 좌표에 n을 곱해 더한 뒤 m+n으로 나눈다. 반대쪽 끝점에 곱한다고 기억해야 한다.
2. 수직인 직선의 기울기를 원래 기울기의 역수로만 바꾸고 부호는 그대로 둔다. '역수'라는 말만 기억하기 때문이다. 기울기가 있는 두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 -1이므로, 역수를 취하고 부호도 바꿔야 한다. 기울기가 2이면 수직인 직선의 기울기는 -1/2이다. x=3처럼 y축에 평행한 직선은 기울기가 없으므로, 이런 직선에 수직인 직선은 x축에 평행한 y=k 꼴의 직선이다.
3. 직선을 일반형으로 정리하지 않고 공식에 대입한다. y=2x+1처럼 주어진 식의 계수를 그대로 쓰기 때문이다. 공식은 ax+by+c=0 꼴을 전제로 하므로, 먼저 모든 항을 한쪽으로 옮겨 정리해야 한다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

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