뿌리학습 · 고등 수학
원의 방정식
원은 한 점에서 같은 거리에 있는 점들을 모두 모은 도형이다. 이 단원에서는 이 정의를 좌표평면에서 식으로 나타내고, 그 식으로 원의 중심과 반지름을 찾는 방법을 배운다. 또 원과 직선이 두 점에서 만나는지, 한 점에서 접하는지, 만나지 않는지를 계산으로 판단하고, 접선과 현의 길이를 구하는 데까지 나아간다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
15일 무료 · 끝나도 자동 결제 없음 · 이후 월 결제 9,800원부터
개념 정리
중심이 이고 반지름이 인 원 위의 점 는 중심까지의 거리가 항상 이다. 두 점 사이의 거리 공식을 쓰면 이고, 양변을 제곱하면 원의 방정식 을 얻는다. 여기서 두 가지를 조심해야 한다. 괄호 안에서 빼는 수가 중심의 좌표이므로 이면 중심의 좌표는 이다. 그리고 우변은 반지름이 아니라 반지름의 제곱이다.
원의 방정식이 처럼 전개된 꼴로 주어지면 완전제곱식으로 고쳐 중심과 반지름을 찾는다. , 이므로 이 되고, 중심은 , 반지름은 이다. 이런 꼴의 방정식이 항상 원을 나타내는 것은 아니다. 완전제곱식으로 고친 뒤 우변이 양수여야 원이고, 우변이 이면 한 점을 나타내고, 음수이면 이를 만족하는 점 가 없어 도형을 나타내지 않는다.
원이 좌표축에 접하는 경우도 자주 나온다. 중심이 인 원이 축에 접하면 중심에서 축까지의 거리 가 반지름이고, 축에 접하면 가 반지름이다.
원과 직선의 위치 관계는 원의 중심과 직선 사이의 거리 를 반지름 과 비교해 판단한다. 이면 서로 다른 두 점에서 만나고, 이면 한 점에서 만나며(접한다), 이면 만나지 않는다. 원의 방정식과 직선의 방정식을 연립해 이차방정식의 판별식으로 판단할 수도 있지만, 거리를 비교하는 방법이 더 간단한 경우가 많다. 이때 거리는 원점이 아니라 원의 중심에서 재야 한다.
원과 직선이 두 점에서 만날 때 생기는 현의 길이도 같은 그림에서 구한다. 중심에서 직선에 내린 수선은 현을 이등분하므로, 반지름을 빗변으로 하는 직각삼각형에서 현의 절반은 이고 현의 길이는 이다. 원 위의 점에서 그은 접선은 그 점을 지나는 반지름에 수직이다. 그래서 반지름의 기울기가 있으면 곱해서 이 되는 기울기로 접선의 방정식을 세우고, 반지름이 축에 평행하면 접선은 축에 평행한 꼴의 직선이 된다.
이 단원은 앞 단원의 두 점 사이의 거리, 점과 직선 사이의 거리, 두 직선의 수직 조건을 모두 사용한다. 그리고 다음 단원인 도형의 이동에서는 원을 옮기거나 뒤집어도 반지름은 그대로이고 중심만 움직인다는 점을 이용하게 된다.
이 단원 시험에서 묻는 것
학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.
- [10공수2-01-04]원의 방정식을 구하고, 그래프를 그릴 수 있다.
- [10공수2-01-05]좌표평면에서 원과 직선의 위치 관계를 판단하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.
자주 하는 착각
원의 방정식
- 원의 방정식 (x-a)²+(y-b)²=r²에서 중심을 괄호 안의 수 그대로 읽는다. (x-2)를 보고 중심의 x좌표를 -2로 읽는 식이다. 괄호 안에서 빼는 수가 중심의 좌표이므로, (x-2)면 2, (x+2)면 -2이다.
- 우변의 수를 반지름으로 착각한다. 방정식의 우변이 곧 반지름이라고 생각하기 때문이다. 우변은 반지름의 제곱이므로, 우변이 16이면 반지름은 4이다.
- x²+y²+Ax+By+C=0 꼴을 완전제곱식으로 고칠 때 일차항 계수를 반으로 나누지 않거나 상수항을 옮기지 않는다. 완전제곱식 만드는 과정을 서두르기 때문이다. x²-6x는 (x-3)²-9가 되며, 이때 생긴 -9와 원래의 상수항을 모두 우변으로 옮겨야 한다.
- x²+y²+Ax+By+C=0 꼴이면 항상 원이라고 본다. 모양이 원의 방정식을 닮았기 때문이다. 완전제곱식으로 고친 뒤 우변이 양수일 때만 원이다. 우변이 0이면 한 점을 나타내고, 음수이면 이를 만족하는 점 (x, y)가 없어 도형을 나타내지 않는다.
- x축에 접하는 원의 반지름을 중심의 x좌표로 잡는다. 'x축'이라는 말과 x좌표를 짝지으려 하기 때문이다. 원이 x축에 접하면 중심에서 x축까지의 거리, 즉 중심의 y좌표의 절댓값이 반지름이다.
원과 직선의 위치 관계
- 원과 직선의 위치 관계를 판단할 때 원의 중심이 아니라 원점에서 직선까지의 거리를 구한다. 원점을 중심으로 하는 원 문제에 익숙하기 때문이다. 원의 중심이 원점이 아니면 반드시 그 중심에서 직선까지의 거리를 구해 반지름과 비교해야 한다.
- 중심과 직선 사이의 거리 d와 반지름 r을 비교할 때 부등호 방향을 뒤바꾼다. 거리가 크면 많이 만난다고 생각하기 때문이다. d<r이면 두 점에서 만나고, d=r이면 접하며, d>r이면 만나지 않는다.
- 현의 길이를 구할 때 반지름과 거리로 만든 직각삼각형에서 빼야 할 것을 더하거나, 현의 절반만 답한다. 피타고라스 정리의 어느 변이 빗변인지 헷갈리기 때문이다. 반지름이 빗변이므로 현의 절반은 √(r²-d²)이고, 현의 길이는 그 두 배다.
- 원 위의 점에서 그은 접선의 기울기를 반지름의 기울기와 같게 잡거나, 역수만 취한다. 접선과 반지름의 관계를 떠올리지 못하기 때문이다. 접선은 접점을 지나는 반지름에 수직이므로, 반지름의 기울기가 있으면 그 기울기와 곱해 -1이 되는 기울기를 쓴다. 반지름이 y축에 평행하면 접선은 x축에 평행한 직선이다.
- 원 위의 점과 직선 사이 거리의 최댓값을 중심과 직선 사이의 거리로 답한다. 원 위의 점을 중심으로 대신하기 때문이다. 원이 직선과 만나지 않을 때 최댓값은 d+r, 최솟값은 d-r이다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
(x+2)²+(y-3)²=r²로 나타낸 원의 중심의 x좌표는 +2이다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
괄호 안의 숫자를 그대로 중심의 좌표로 읽는 경우가 많아요. 하지만 원의 방정식 (x-a)²+(y-b)²=r²에서 중심의 x좌표는 '빼는 수', 즉 a예요. (x+2)는 (x-(-2))와 같은 형태이므로, 중심의 x좌표는 +2가 아니라 -2가 돼요.
원의 방정식에서 우변의 수가 16이면 반지름은 4이다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
원의 방정식을 처음 접할 때 우변에 쓰인 수를 그대로 반지름으로 읽기 쉬워요. 그런데 원의 방정식의 우변은 반지름 자체가 아니라 반지름의 제곱을 나타내요. 따라서 우변이 16이라면 반지름의 제곱이 16인 것이므로, 실제 반지름은 √16 = 4가 돼요.
x²-6x를 완전제곱식으로 고칠 때 (x-3)²으로만 쓰면 되고, 별도로 상수항을 처리할 필요가 없다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
완전제곱식을 만드는 과정을 서두르다 보면 (x-3)²만 쓰고 끝냈다고 느끼기 쉬워요. 그러나 x²-6x와 (x-3)²은 값이 같지 않고, (x-3)²을 전개하면 x²-6x+9이므로 원래 식보다 9가 더 큰 상태예요. 따라서 식의 등호를 유지하려면 반드시 -9를 함께 써서 (x-3)²-9로 나타내야 하며, 원의 방정식을 표준형으로 정리할 때는 이 -9와 원래의 상수항을 모두 우변으로 이항해야 해요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반