원의 방정식

이 단원 시험에서 묻는 것

• 원의 방정식 읽기. 중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원의 방정식은 (x − a)² + (y − b)² = r²입니다. (x − 2)² + (y + 1)² = 16이면 중심은 (2, −1), 반지름은 16이 아니라 4입니다.
• 일반형을 표준형으로. x² + y² + Ax + By + C = 0 꼴을 x, y에 대해 각각 완전제곱식으로 고치면 중심은 (−A/2, −B/2), 우변은 (A² + B²)/4 − C가 됩니다. 이 값이 양수일 때만 원이고, 0이면 한 점, 음수이면 도형을 나타내지 않으므로 원이 되기 위한 조건 A² + B² − 4C > 0을 묻는 문제가 나옵니다.
• 조건으로 원의 방정식 구하기. 중심과 반지름, 지름의 양 끝점(중점이 중심), 좌표축에 접하는 조건 등으로 원의 방정식을 구합니다. x축에 접하는 원의 반지름은 중심의 y좌표의 절댓값이고, y축에 접하면 중심의 x좌표의 절댓값입니다.
• 원과 직선의 위치 관계. 원의 중심과 직선 사이의 거리 d를 반지름 r과 비교해 d < r이면 두 점에서 만나고, d = r이면 접하며, d > r이면 만나지 않습니다. 원의 방정식과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 판별식으로도 판단할 수 있습니다.
• 원의 접선. 원 위의 점에서 그은 접선은 그 점을 지나는 반지름에 수직입니다. 기울기가 m인 접선은 y = mx + k로 놓고 원의 중심과 이 직선 사이의 거리가 반지름과 같다는 조건으로 k를 구하며, 이런 접선은 두 개 나옵니다.
• 현의 길이와 거리의 최대·최소. 반지름 r인 원의 중심에서 직선까지의 거리가 d이고 직선이 원과 두 점에서 만날 때(d < r), 현의 길이는 2√(r² − d²)입니다. 원과 직선이 만나지 않을 때(d > r) 원 위의 점과 직선 사이의 거리는 최댓값이 d + r, 최솟값이 d − r입니다.

자주 하는 착각

1. 원의 방정식 (x-a)²+(y-b)²=r²에서 중심을 괄호 안의 수 그대로 읽는다. (x-2)를 보고 중심의 x좌표를 -2로 읽는 식이다. 괄호 안에서 빼는 수가 중심의 좌표이므로, (x-2)면 2, (x+2)면 -2이다.
2. x²+y²+Ax+By+C=0 꼴이면 항상 원이라고 본다. 모양이 원의 방정식을 닮았기 때문이다. 완전제곱식으로 고친 뒤 우변이 양수일 때만 원이다. 우변이 0이면 한 점을 나타내고, 음수이면 이를 만족하는 점 (x, y)가 없어 도형을 나타내지 않는다.
3. 중심과 직선 사이의 거리 d와 반지름 r을 비교할 때 부등호 방향을 뒤바꾼다. 거리가 크면 많이 만난다고 생각하기 때문이다. d<r이면 두 점에서 만나고, d=r이면 접하며, d>r이면 만나지 않는다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

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