피어남

뿌리학습 · 중학 수학

제곱근과 실수

넓이가 2인 정사각형의 한 변의 길이는 얼마일까. 제곱해서 2가 되는 수는 분수로 나타낼 수 없어서, 지금까지 배운 유리수만으로는 이 길이를 적을 수 없다. 이 단원에서는 이런 수를 나타내는 제곱근을 배우고, 유리수와 무리수를 합쳐 실수라는 더 넓은 수의 세계를 만든다. 그리고 그 수들의 크기를 비교하고 계산하는 방법을 익힌다.

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개념 정리

어떤 수 xx를 제곱하여 aa가 될 때, xx를 aa의 제곱근이라고 한다. 22=42^2=4이고 (−2)2=4(-2)^2=4이므로 44의 제곱근은 22와 −2-2 두 개다. 이처럼 양수 aa의 제곱근은 양수와 음수 두 개이고, 이를 근호를 써서 a\sqrt{a}와 −a-\sqrt{a}로 나타낸다. 한꺼번에 ±a\pm\sqrt{a}로 쓰기도 한다. 00의 제곱근은 00 하나뿐이고, 제곱해서 음수가 되는 수는 없으므로 음수의 제곱근은 생각하지 않는다. '44의 제곱근'은 ±2\pm2이지만 '제곱근 44'는 4=2\sqrt{4}=2 하나를 가리킨다는 점을 구분해야 한다.
제곱근의 성질은 제곱과 근호의 관계에서 나온다. a>0a>0일 때 (a)2=a(\sqrt{a})^2=a, (−a)2=a(-\sqrt{a})^2=a이다. 주의할 것은 a2\sqrt{a^2}이다. 근호로 나타낸 값은 00 이상이므로 a≥0a\ge0이면 a2=a\sqrt{a^2}=a, a<0a<0이면 a2=−a\sqrt{a^2}=-a이다. 예를 들어 (−3)2=9=3\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3이다. 제곱근의 대소는 a, ba,\ b가 양수일 때 a<ba<b이면 a<b\sqrt{a}<\sqrt{b}라는 성질로 판단한다. 3=93=\sqrt{9}이므로 3<103<\sqrt{10}이고, 음의 부호가 붙으면 대소가 뒤집혀 −5<−3-\sqrt{5}<-\sqrt{3}이다.
분수 mn\frac{m}{n}(m, nm,\ n은 정수, n≠0n\ne0) 꼴로 나타낼 수 있는 수가 유리수이고, 유리수가 아닌 수를 무리수라고 한다. 2\sqrt{2}는 소수로 나타내면 1.41421⋯1.41421\cdots처럼 순환하지 않는 무한소수가 되며, 원주율 π\pi도 무리수다. 근호가 붙었다고 모두 무리수는 아니다. 9=3\sqrt{9}=3, 0.25=0.5\sqrt{0.25}=0.5처럼 근호 안의 수가 유리수의 제곱이면 유리수다. 또 0.3˙0.\dot{3}처럼 순환하는 무한소수는 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수다.
유리수와 무리수를 통틀어 실수라고 한다. 한 변의 길이가 11인 정사각형의 대각선 길이는 2\sqrt{2}이므로, 이 길이를 컴퍼스로 옮기면 수직선 위에 2\sqrt{2}에 대응하는 점을 찍을 수 있다. 수직선은 유리수만으로는 다 채워지지 않으며, 실수 전체가 수직선 위의 점과 하나씩 대응한다. 두 실수의 대소는 차의 부호로 정한다. 3−23-\sqrt{2}와 11을 비교하면 (3−2)−1=2−2(3-\sqrt{2})-1=2-\sqrt{2}이고 2<4=2\sqrt{2}<\sqrt{4}=2이므로 이 값은 양수다. 따라서 3−2>13-\sqrt{2}>1이다.
근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈은 a, ba,\ b가 양수일 때 a×b=ab\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}, ab=ab\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}를 이용한다. 근호 안에 제곱인 인수가 있으면 밖으로 꺼낼 수 있어 12=22×3=23\sqrt{12}=\sqrt{2^2\times3}=2\sqrt{3}이고, 거꾸로 근호 밖의 양수는 제곱해서 안으로 넣을 수 있어 23=22×3=122\sqrt{3}=\sqrt{2^2\times3}=\sqrt{12}이고, 음수일 때는 음의 부호를 밖에 남겨 −23=−12-2\sqrt{3}=-\sqrt{12}로 쓴다. 덧셈과 뺄셈은 근호 안의 수가 같은 것끼리만 모은다. 12+27=23+33=53\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}이지만, 9+16=7\sqrt{9}+\sqrt{16}=7은 25=5\sqrt{25}=5와 다르다. 분모에 근호가 있으면 분모의 꼴에 맞는 수를 분모와 분자에 함께 곱해 분모를 유리수로 바꾼다. 이를 분모의 유리화라고 하며, 33=333=3\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}처럼 값은 그대로다.
제곱근은 이후 거의 모든 단원에 등장한다. 이차방정식을 풀면 근이 근호가 포함된 수로 나오는 경우가 많고, 삼각비에서 변의 길이를 구할 때도 근호 계산이 필요하다. 음수의 제곱근을 생각하지 않는다는 이 단원의 약속은 고등학교에서 제곱하여 −1-1이 되는 새로운 수를 도입하면서 넓어진다.

이 단원 시험에서 묻는 것

학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.

  • [9수01-07]제곱근의 뜻과 성질을 알고, 제곱근의 대소 관계를 판단할 수 있다.
  • [9수01-08]무리수의 개념을 이해하고, 무리수의 유용성을 인식할 수 있다.

자주 하는 착각

제곱근의 뜻과 성질

  1. 4의 제곱근을 2 하나라고 답한다. √4=2라는 표기에 먼저 익숙해져 '4의 제곱근'과 '제곱근 4'를 같은 것으로 여기기 때문이다. 4의 제곱근은 제곱해서 4가 되는 수로 2와 −2 두 개이고, 제곱근 4는 그 가운데 양수인 √4, 곧 2 하나를 가리킨다. 양수의 제곱근은 항상 양수와 음수 두 개다.
  2. √(a²)을 항상 a라고 본다. 제곱과 제곱근이 서로를 지운다고 생각하기 때문이다. √(a²)은 a의 부호와 관계없이 0 이상이므로 a≥0이면 a, a<0이면 −a이다. 예를 들어 √((−3)²)=√9=3이다.
  3. 음수의 제곱근도 구할 수 있다고 보거나, 0의 제곱근이 두 개라고 본다. 양수의 제곱근이 두 개라는 규칙을 모든 수로 넓히기 때문이다. 제곱해서 음수가 되는 수는 지금까지 배운 수 가운데 없으므로 음수의 제곱근은 생각하지 않고, 0의 제곱근은 0 하나뿐이다.
  4. −√5와 −√3의 대소를 비교할 때 근호 안의 수가 큰 −√5가 더 크다고 본다. 양수 제곱근의 대소 규칙을 부호를 보지 않고 그대로 쓰기 때문이다. a, b가 양수일 때 a<b이면 √a<√b이지만, 음의 부호가 붙으면 대소가 뒤집혀 −√a>−√b이다. 따라서 −√5<−√3이다.

무리수와 실수

  1. 근호가 붙은 수는 모두 무리수라고 본다. √2, √3처럼 대표적인 무리수가 근호로 쓰이기 때문이다. √9=3, √0.25=0.5처럼 근호 안의 수가 어떤 유리수의 제곱이면 그 제곱근은 유리수다. 근호를 벗길 수 있는지 먼저 확인해야 분류할 수 있다.
  2. 끝없이 이어지는 소수는 모두 무리수라고 본다. 무리수를 '끝나지 않는 소수'로만 기억하기 때문이다. 0.333…처럼 순환하는 무한소수는 분수로 나타낼 수 있는 유리수다. 무리수는 순환하지 않는 무한소수다.
  3. 수직선이 유리수만으로 빈틈없이 채워진다고 본다. 서로 다른 두 유리수 사이에 항상 다른 유리수가 있다는 사실 때문이다. 유리수만으로는 수직선을 다 채울 수 없고, √2처럼 무리수에 대응하는 점이 있다. 유리수와 무리수를 합친 실수 전체가 수직선 위의 점과 하나씩 대응한다.
  4. 3−√2와 1처럼 근호가 섞인 두 수의 대소를 겉모양으로 판단한다. 근호가 있는 쪽이 더 크거나 더 작다는 막연한 인상에 기대기 때문이다. 두 실수의 대소는 차의 부호로 정한다. (3−√2)−1=2−√2이고 √2<√4=2이므로 차가 양수여서 3−√2>1이다.

근호를 포함한 식의 계산

  1. √a+√b=√(a+b)라고 계산한다. a, b가 양수일 때 √a×√b=√(ab)가 성립하니 덧셈도 같으리라 여기기 때문이다. √9+√16=3+4=7이지만 √25=5이므로 성립하지 않는다. 근호가 있는 식의 덧셈과 뺄셈은 근호 안의 수가 같은 것끼리만 모을 수 있고, 2√3+5√3=7√3처럼 계산한다.
  2. 분모를 유리화할 때 분모에만 근호를 곱하거나, 유리화를 하면 수의 값이 달라진다고 생각한다. 분모의 근호를 없애는 모양에만 주목하기 때문이다. 분모와 분자에 같은 수를 곱하므로 값은 그대로이고 분모만 유리수로 바뀐다. 3/√3은 분모와 분자에 √3을 곱해 3√3/3=√3이 된다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

4의 제곱근은 2 하나뿐이다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

√4=2라는 표기에 먼저 익숙해지다 보면 '4의 제곱근'과 '제곱근 4'를 같은 뜻으로 여기기 쉬워요. 실제로는 '제곱근 4', 즉 √4는 양수인 2 하나를 가리키지만, '4의 제곱근'은 제곱해서 4가 되는 수 전체를 뜻하므로 2와 −2 두 개예요. 양수의 제곱근은 항상 양수와 음수 두 개가 존재한답니다.
√(a²)은 a의 부호에 관계없이 항상 0 이상이므로, a≥0이면 a, a<0이면 −a이다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

제곱과 제곱근이 서로를 '지운다'고 생각하면 √(a²)=a라고 보기 쉬워요. 그런데 제곱근 기호 √는 항상 0 이상인 값을 나타내므로, a가 음수일 때 √(a²)은 a가 아니라 −a가 돼요. 예를 들어 √((−3)²)=√9=3인데, 이때 3은 −3이 아니라 −(−3)이에요. 따라서 √(a²)=a라고 무조건 쓸 수는 없어요.
0의 제곱근은 양수와 음수 두 개이다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

양수의 제곱근이 양수와 음수 두 개 있다는 사실을 0에도 그대로 적용하기 쉬워요. 하지만 제곱해서 0이 되는 수는 0밖에 없으므로, 0의 제곱근은 0 하나뿐이에요. 마찬가지로, 제곱해서 음수가 되는 수는 지금까지 배운 수 가운데 없으므로 음수의 제곱근은 생각하지 않아요.

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자주 묻는 질문

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