뿌리학습 · 중학 수학
유리수와 순환소수
분수를 소수로 고치다 보면 두 가지 일이 생긴다. 나누어떨어져 소수가 딱 끝나는 경우가 있고, 끝나지 않고 같은 숫자가 되풀이되는 경우가 있다. 이 단원에서는 되풀이되는 소수인 순환소수를 정확히 나타내는 방법을 배우고, 어떤 분수가 어느 쪽이 되는지, 그리고 순환소수를 다시 분수로 어떻게 되돌리는지를 다룬다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
15일 무료 · 끝나도 자동 결제 없음 · 이후 월 결제 9,800원부터
개념 정리
소수점 아래의 숫자가 유한개인 소수를 유한소수, 끝없이 이어지는 소수를 무한소수라 한다. 무한소수 가운데 소수점 아래 어떤 자리부터 같은 숫자 배열이 끝없이 되풀이되는 것을 순환소수라 하고, 되풀이되는 부분을 순환마디라 한다. 순환소수는 순환마디의 첫 숫자와 끝 숫자 위에 점을 찍어 나타낸다. 은 순환마디가 이고, 은 앞의 이 되풀이되지 않으므로 순환마디는 이다. 앞에 되풀이되지 않는 숫자가 있어도 순환소수다.
분수를 소수로 고치는 것은 분자를 분모로 나누는 일이다. 이때 나머지를 함께 살펴보면 순환을 확인할 수 있다. 나눗셈을 이어 가다가 이전에 나왔던 나머지가 다시 나오면, 그다음부터는 같은 계산이 되풀이되므로 같은 숫자가 반복된다. 나머지의 종류는 분모보다 작은 수로 한정되어 있으므로 나누어떨어지지 않으면 언젠가 반드시 되풀이된다.
그렇다면 어떤 분수가 유한소수가 될까. 기약분수로 고친 뒤 분모를 소인수분해해서 판별한다. 분모의 소인수가 와 뿐이면 유한소수로 나타낼 수 있고, 와 외의 소인수가 있으면 순환소수가 된다. 분모가 의 거듭제곱 꼴로 바뀔 수 있는지를 보는 것이기 때문이다. 여기서 중요한 것은 반드시 기약분수로 먼저 고쳐야 한다는 점이다. 은 분모에 이 있지만 약분하면 이므로 유한소수다.
이제 반대로 순환소수를 분수로 고쳐 보자. 소수 부분이 같은 두 식을 만들어 빼는 것이 요령이다. 라 하면 순환마디가 두 자리이므로 양변에 을 곱해 를 얻는다. 두 식을 빼면 소수 부분이 사라져 이므로 다. 앞에 되풀이되지 않는 부분이 있으면 그 부분까지 소수점 앞으로 보낸 뒤 같은 방법을 쓴다. 이라면 과 을 빼서 , 곧 이다. 구한 분수는 기약분수로 정리하고 다시 나누어 처음 수가 나오는지 확인한다.
여기까지 오면 유리수와 소수의 관계가 정리된다. 정수가 아닌 유리수는 소수로 나타내면 유한소수이거나 순환소수이고, 거꾸로 유한소수와 순환소수는 모두 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수다. 끝없이 이어진다고 해서 유리수가 아닌 것이 아니라, 되풀이되는지가 기준이다.
이 관계는 중학교 3학년에서 한 번 더 확장된다. 되풀이되지 않는 무한소수가 있다는 것을 알게 되고, 그런 수를 무리수라 부르며 유리수와 합쳐 실수라는 더 넓은 수의 범위를 배운다. 순환하는지 아닌지로 수를 가르는 이 단원의 기준이 그때 그대로 쓰인다.
이 단원 시험에서 묻는 것
학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.
- [9수01-06]순환소수의 뜻을 알고, 유리수와 순환소수의 관계를 설명할 수 있다.
자주 하는 착각
순환소수의 뜻
- 순환소수는 끝없이 이어지므로 유리수가 아니라고 본다. 끝나지 않는 소수를 모두 같은 종류로 묶기 때문이다. 순환소수는 같은 숫자 배열이 되풀이되므로 분수로 나타낼 수 있고, 따라서 유리수다. 분수로 나타낼 수 없는 수는 되풀이되지 않는 무한소수다.
- 순환마디를 소수점 아래 첫 숫자부터 잡는다. 앞에서부터 읽는 습관 때문이다. 순환마디는 소수점 아래에서 되풀이되기 시작하는 부분이다. 0.1666…처럼 앞에 되풀이되지 않는 숫자가 있으면 그 뒤부터가 순환마디이므로 순환마디는 6이다.
- 순환소수를 나타내는 점을 순환마디의 모든 숫자 위에 찍거나 아무 데나 찍는다. 표기 규칙을 외우지 않았기 때문이다. 점은 순환마디의 첫 숫자와 끝 숫자 위에만 찍는다. 순환마디가 한 자리이면 그 숫자 위에 점 하나를 찍는다.
- 되풀이되지 않는 숫자가 앞에 있으면 순환소수가 아니라고 본다. 소수점 바로 뒤부터 되풀이되는 예만 보았기 때문이다. 어디서부터든 같은 배열이 끝없이 되풀이되면 순환소수다.
유한소수와 순환소수의 판별
- 기약분수로 고치지 않고 분모만 보고 판별한다. 주어진 분수의 분모를 그대로 쓰기 때문이다. 먼저 기약분수로 고친 뒤 분모를 소인수분해해야 한다. 분모가 12여도 약분하면 분모가 4가 되어 유한소수인 경우가 있다.
- 분모의 소인수 조건을 반대로 기억한다. 조건을 결과와 짝지어 외우지 않았기 때문이다. 기약분수의 분모를 소인수분해했을 때 소인수가 2와 5뿐이면 유한소수로 나타낼 수 있고, 2와 5 외의 소인수가 있으면 순환소수가 된다.
- 분모에 2나 5가 아닌 소인수가 있으면 소수로 나타낼 수 없다고 본다. 유한소수만 소수라고 생각하기 때문이다. 그런 분수도 소수로 나타낼 수 있으며 다만 순환소수가 된다. 나누어 떨어지지 않을 뿐 나눗셈은 계속된다.
- 나눗셈을 몇 자리까지만 해 보고 되풀이되지 않는다고 판단한다. 자릿수를 충분히 보지 않기 때문이다. 나눗셈에서 나머지가 이전에 나온 나머지와 같아지면 그때부터 같은 숫자가 되풀이된다. 나머지를 함께 적어 두면 순환 여부를 확실히 알 수 있다.
순환소수를 분수로 나타내기
- 순환소수를 분수로 고칠 때 곱하는 10의 거듭제곱을 잘못 잡는다. 무조건 10을 곱하기 때문이다. 소수 부분이 같아지는 두 식을 만든 뒤 빼야 한다. 되풀이되지 않는 부분이 없으면 순환마디의 자릿수만큼 10의 거듭제곱을 곱하면 되고, 순환마디가 두 자리이면 100을 곱한다. 앞에 되풀이되지 않는 부분이 있으면 그 부분을 소수점 앞으로 보내는 거듭제곱을 먼저 곱하고, 거기에 순환마디의 자릿수만큼 더 곱한 식을 함께 만들어 두 식을 뺀다.
- 분수로 고친 뒤 기약분수로 정리하지 않거나 검산하지 않는다. 식을 세워 답이 나오면 끝이라고 보기 때문이다. 구한 분수는 약분해 기약분수로 나타내고, 다시 나눗셈을 해 처음의 순환소수가 되는지 확인해야 한다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
순환소수는 끝없이 이어지는 소수이므로 분수로 나타낼 수 없어 유리수가 아니다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
끝없이 이어지는 소수라는 점에서 순환소수와 무한소수를 모두 같은 종류로 묶어 버리기 쉬워요. 하지만 끝없이 이어지는 소수라도 같은 숫자 배열이 되풀이된다면 분수로 바꿀 수 있어요. 실제로는 분수로 나타낼 수 없는 수는 순환소수가 아니라, 숫자 배열이 되풀이되지 않는 무한소수예요.
0.1666…에서 순환마디는 소수점 아래에서 되풀이되기 시작하는 부분인 6이다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
소수를 앞에서부터 읽는 습관 때문에 소수점 아래 첫 숫자부터 순환마디로 잡기 쉬워요. 실제로는 순환마디란 소수점 아래에서 되풀이되는 부분만을 가리켜요. 0.1666…처럼 앞에 되풀이되지 않는 숫자가 있으면 그 부분은 순환마디에 포함되지 않고, 그 뒤에서 반복되는 6만이 순환마디예요.
순환소수를 나타낼 때, 순환마디를 이루는 모든 숫자 위에 점을 찍어야 한다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
순환마디에 속하는 숫자가 여러 개일 때, 그 숫자들 모두에 점을 찍어야 순환하는 부분을 정확히 나타낼 수 있다고 생각하기 쉬워요. 하지만 실제로는 순환마디의 첫 숫자와 끝 숫자 위에만 점을 찍는 것이 약속된 표기 방법이에요. 예를 들어 순환마디가 한 자리인 경우에는 첫 숫자와 끝 숫자가 같으므로 점을 하나만 찍으면 돼요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
자주 묻는 질문
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반