뿌리학습 · 중학 수학
기본 도형, 작도와 합동, 평면·입체도형의 성질
도형을 눈으로만 보면 비슷해 보이는 것도 많고 다르게 보이는 것도 많다. 그래서 중학교에서는 도형을 말과 기호로 정확히 나타내고, 성질을 근거를 들어 설명하는 연습을 시작한다. 이 단원에서는 점과 선과 면에서 출발해 삼각형의 작도와 합동, 다각형과 원의 성질, 입체도형의 겉넓이와 부피까지 다룬다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
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개념 정리
도형의 기본은 점, 선, 면이다. 두 점을 지나는 직선은 하나뿐이고, 두 점을 잇는 부분이 선분, 한 점에서 시작해 한쪽으로 끝없이 뻗은 것이 반직선이다. 반직선은 시작점이 어디인지가 중요해서 두 점의 순서를 바꾸면 다른 반직선이 된다. 공간에서 서로 다른 두 직선의 위치 관계는 세 가지다. 한 점에서 만나거나, 평행하거나, 만나지도 않고 평행하지도 않은 꼬인 위치에 있다. 평면에서는 없던 세 번째 경우가 공간에서 새로 나타난다.
한 직선이 두 직선과 만날 때 같은 자리에 있는 각을 동위각, 엇갈린 자리에 있는 각을 엇각이라 한다. 여기서 조심할 점이 있다. 동위각과 엇각의 크기가 같은 것은 두 직선이 평행할 때뿐이다. 거꾸로 동위각이나 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다. 반면 두 직선이 만날 때 마주 보는 맞꼭지각은 평행과 상관없이 언제나 크기가 같다.
눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 도형을 그리는 일을 작도라 한다. 자는 선을 긋는 데만 쓰고 길이를 재지 않으며, 컴퍼스로 길이를 옮긴다. 주어진 것과 합동인 삼각형을 작도해 보면 삼각형이 하나로 정해지는 조건을 알 수 있다. 두 삼각형이 합동이 되는 조건은 세 가지다. 세 변의 길이가 각각 같을 때, 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 같을 때, 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 같을 때다. 두 변과 끼인각이 아닌 각이 같은 경우는 합동이 아닐 수 있으므로 조건에 들어가지 않는다.
다각형에서는 각의 크기와 대각선을 따져 본다. 각형은 한 꼭짓점에서 그은 대각선으로 개의 삼각형으로 나뉘므로 내각의 크기의 합은 다. 외각의 크기의 합은 다르다. 이 단원에서 다루는 볼록다각형에서는 변의 개수와 관계없이 언제나 다. 대각선의 개수는 각 꼭짓점에서 자기 자신과 이웃한 두 꼭짓점을 뺀 개씩 그을 수 있고, 한 대각선이 두 번씩 세어지므로 다. 원에서는 부채꼴을 다룬다. 한 원에서 호의 길이와 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하지만, 현의 길이는 정비례하지 않는다.
입체도형은 다면체와 회전체로 나눈다. 다각형인 면으로만 둘러싸인 것이 다면체이고, 평면도형을 한 직선을 축으로 돌려 만든 것이 회전체다. 다면체 가운데 모든 면이 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같은 것을 정다면체라 하는데, 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 다섯 가지뿐이다. 모형을 만들거나 공학 도구로 돌려 보면 이런 성질을 직접 확인할 수 있다. 회전체는 자르는 방향에 따라 단면이 달라진다. 원기둥, 원뿔, 구처럼 여기서 다루는 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자르면 단면이 원이 되고, 회전축을 품은 평면으로 자르면 축을 중심으로 좌우가 같은 모양이 된다. 겉넓이는 겉면의 넓이를 모두 더한 값이고 부피는 공간을 차지하는 크기다. 밑면과 높이가 같을 때 뿔의 부피는 기둥의 부피의 이라는 관계를 기억해 두면 편하다.
여기서 익힌 것은 중학교 2학년의 도형 단원으로 이어진다. 합동 조건은 이등변삼각형과 사각형의 성질을 증명하는 근거가 되고, 각의 성질은 닮음과 피타고라스 정리를 다룰 때 계속 쓰인다. 근거를 들어 설명하는 연습이 그때부터 증명이라는 이름을 갖게 된다.
이 단원 시험에서 묻는 것
학교 시험은 교육과정 성취기준을 바탕으로 출제됩니다. 이 단원의 성취기준은 다음을 할 수 있는지 확인하도록 정하고 있습니다.
- [9수03-04]삼각형의 합동 조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 삼각형이 합동인지 판별할 수 있다.
자주 하는 착각
기본 도형과 위치 관계
- 반직선을 나타낼 때 두 점의 순서를 바꾸어도 같다고 본다. 직선과 선분에서 순서가 상관없기 때문이다. 반직선은 한 점에서 시작해 한쪽으로 끝없이 뻗어 나가므로, 점 A에서 시작해 B를 지나는 반직선과 점 B에서 시작해 A를 지나는 반직선은 서로 다르다. 직선과 선분은 두 점의 순서를 바꾸어도 같다.
- 공간에서 두 직선이 만나지 않으면 평행하다고 본다. 평면에서만 생각하기 때문이다. 공간에서는 만나지도 않고 평행하지도 않은 두 직선이 있으며 이를 꼬인 위치에 있다고 한다. 두 직선이 한 평면 위에 있는지부터 확인해야 한다.
- 동위각과 엇각의 크기가 언제나 같다고 본다. 교과서 그림이 대부분 평행선이기 때문이다. 동위각과 엇각은 두 직선이 평행할 때에만 크기가 같다. 평행하지 않으면 같은 자리의 각이라도 크기가 다르다. 반면 맞꼭지각은 평행 여부와 관계없이 언제나 같다.
작도와 합동
- 작도에서 자로 길이를 재거나 각도기를 쓴다. 정확히 그리는 것이 목적이라고 생각하기 때문이다. 작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 그리는 일이다. 자는 선을 긋는 데, 컴퍼스는 길이를 옮기거나 원을 그리는 데 쓴다.
- 세 요소만 같으면 두 삼각형이 합동이라고 본다. 조건의 개수만 기억하기 때문이다. 합동이 되는 조건은 세 변의 길이가 각각 같을 때, 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 같을 때, 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 같을 때다. 두 변과 끼인각이 아닌 각이 같은 경우는 합동이 아닐 수 있다.
평면도형의 성질
- 다각형의 외각의 크기의 합이 변의 개수에 따라 달라진다고 본다. 내각의 합이 변의 개수에 따라 달라지기 때문이다. 내각의 크기의 합은 변의 개수에 따라 커지지만, 이 단원에서 다루는 볼록다각형의 외각의 크기의 합은 변의 개수와 관계없이 360도로 일정하다.
- 대각선의 개수를 셀 때 같은 대각선을 두 번 센다. 각 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선을 모두 더하기 때문이다. 한 대각선은 양 끝 꼭짓점에서 각각 한 번씩 세어지므로 마지막에 2로 나누어야 한다.
- 부채꼴에서 중심각의 크기가 두 배가 되면 현의 길이도 두 배가 된다고 본다. 호의 길이와 넓이가 중심각에 정비례하기 때문이다. 호의 길이와 넓이는 중심각의 크기에 정비례하지만 현의 길이는 그렇지 않다.
입체도형의 성질
- 회전체를 어느 방향으로 잘라도 단면이 원이라고 본다. 회전축에 수직으로 자른 모습만 떠올리기 때문이다. 원기둥, 원뿔, 구처럼 이 단원에서 다루는 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자르면 단면은 원이지만, 회전축을 품은 평면으로 자르면 회전축을 중심으로 좌우가 같은 모양이 된다.
- 밑면과 높이가 같은 원뿔과 원기둥의 부피가 같다고 보거나, 겉넓이와 부피를 섞어 쓴다. 두 입체도형의 겉모습이 비슷해 보이기 때문이다. 밑면과 높이가 같을 때 원뿔의 부피는 원기둥의 부피의 3분의 1이다. 겉넓이는 겉면의 넓이를 모두 더한 값이고 부피는 공간을 차지하는 크기로, 단위부터 다르다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
반직선을 나타낼 때 두 점의 순서를 바꾸어도 같은 반직선이다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
직선이나 선분은 두 점의 순서를 바꾸어도 같기 때문에, 반직선도 그럴 것이라고 생각하기 쉬워요. 하지만 반직선은 한 점에서 시작해 한쪽 방향으로만 끝없이 뻗어 나가는 도형이라, 시작점이 어디냐에 따라 전혀 다른 반직선이 돼요. 반직선 AB는 점 A에서 시작해 B 방향으로 뻗고, 반직선 BA는 점 B에서 시작해 A 방향으로 뻗으므로 실제로는 서로 다른 반직선이에요.
공간에서 두 직선이 만나지 않더라도 평행하지 않은 경우, 즉 꼬인 위치에 있는 경우가 존재한다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
평면에서는 두 직선이 만나지 않으면 반드시 평행하기 때문에, 공간에서도 같은 방식으로 생각하기 쉬워요. 그러나 공간에서는 두 직선이 한 평면 위에 있지 않을 수도 있어서, 만나지도 않고 평행하지도 않은 꼬인 위치라는 관계가 새롭게 생겨요. 두 직선이 평행한지 아닌지를 판단하려면, 먼저 그 두 직선이 같은 평면 위에 놓여 있는지를 확인해야 해요.
동위각과 엇각은 두 직선이 평행하지 않아도 언제나 크기가 같다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
교과서 예제 그림이 대부분 평행선을 이용하다 보니, 동위각·엇각이 항상 같은 것으로 받아들이기 쉬워요. 실제로는 두 직선이 평행할 때에만 동위각과 엇각의 크기가 같고, 평행하지 않으면 같은 자리에 있는 각이라도 크기가 달라져요. 반면 맞꼭지각은 평행 여부와 관계없이 언제나 크기가 같다는 점도 함께 기억해 두면 좋아요.
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자주 묻는 질문
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반