뿌리학습 · 고등 수학
삼각함수의 뜻과 그래프
회전하는 바퀴의 높이나 하루 동안의 기온처럼 일정한 간격으로 되풀이되는 현상이 있다. 이런 주기적인 변화를 다루는 도구가 삼각함수다. 이 단원에서는 각의 개념을 회전으로 넓히고 각을 실수로 재는 새로운 방법을 배운 뒤, 그 위에서 삼각함수를 정의하고 그래프의 모양과 성질을 살핀다. 중학교의 삼각비가 여기서 크게 확장된다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
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개념 정리
먼저 각을 다시 본다. 좌표평면에서 원점을 꼭짓점으로 하고 축의 양의 방향을 시초선으로 삼아, 동경이 회전한 양으로 각을 나타낸다. 시계 반대 방향을 양의 방향으로 하면 한 바퀴를 넘는 각도, 반대로 돌아 음수인 각도 생각할 수 있다. 같은 자리에 있는 동경을 나타내는 각은 의 정수배만큼 차이가 나며, 이를 한꺼번에 나타낸 것이 일반각이다.
각을 재는 방법도 새로 배운다. 반지름과 호의 길이의 비로 각을 재는 것이 호도법이고, 호의 길이가 반지름과 같을 때의 중심각을 라디안이라 한다. 가 라디안이므로 두 방법을 서로 바꿀 수 있다. 호도법으로 재면 각이 단위 없는 실수가 되어 함수의 변수로 쓸 수 있다는 점이 중요하다. 그래서 삼각함수의 그래프에서 가로축은 이 실수를 그대로 쓴다. 반지름이 , 중심각이 인 부채꼴의 호의 길이는 , 넓이는 로 간단해진다. 호의 길이를 이라 하면 넓이는 로도 쓸 수 있다.
이제 삼각함수를 정의한다. 원점을 중심으로 하는 반지름 인 원 위에서 동경이 각 만큼 회전했을 때 만나는 점을 라 하면, , , 로 정한다. 중학교의 삼각비는 직각삼각형에서 예각만 다뤘지만, 이렇게 정의하면 사인과 코사인은 모든 실수인 각에서, 탄젠트는 가 이 되는 각을 제외한 각에서 값이 정해진다. 값의 부호는 동경이 있는 사분면에서 와 의 부호를 보면 바로 알 수 있다. 또 정의에서 곧바로 과 가 따라 나오며, 이 두 관계는 값을 구하거나 식을 정리할 때 자주 쓰인다.
그래프를 보자. 일정한 간격마다 같은 값이 되풀이되는 함수를 주기함수라 하고 그 간격을 주기라 한다. 사인함수와 코사인함수는 정의역이 실수 전체, 치역이 부터 까지이며 주기가 모두 다. 두 그래프는 모양이 같고 가로로 옮긴 관계다. 탄젠트함수는 다르다. 주기가 이고 정의되지 않는 각마다 그래프가 끊어지며, 치역은 실수 전체다.
식이 조금 복잡해져도 규칙은 같다. 에서 는 그래프를 세로로 늘이거나 줄여 최댓값과 최솟값을 와 로 만들고, 는 가로로 늘이거나 줄여 주기를 바꾼다. 여기서 주의할 점이 있다. 가 커지면 그래프가 촘촘해지므로 주기는 짧아진다. 일 때 주기는 이고 탄젠트함수라면 다. 예를 들어 는 최댓값이 , 주기가 다.
그래프를 알면 삼각함수가 포함된 방정식과 부등식도 풀 수 있다. 값을 나타내는 가로선을 긋고 그래프와 만나는 점을 찾으면 된다. 이때 삼각함수는 같은 값을 주기마다 되풀이하므로 주어진 구간 안에 해가 여러 개 있을 수 있다. 하나를 찾고 끝내지 말고 구간 전체에서 교점을 세어야 한다. 다음 단원에서는 이 삼각함수를 삼각형의 변과 각을 잇는 도구로 쓴다.
자주 하는 착각
일반각과 호도법
- 각의 크기를 0도에서 360도 사이로만 생각한다. 중학교에서 도형의 각만 다뤘기 때문이다. 시초선에서 동경이 회전한 양으로 각을 보면 한 바퀴를 넘는 각도 있고 반대 방향으로 돌아 음수인 각도 있다. 같은 자리의 동경을 나타내는 각은 360도의 정수배만큼 차이가 난다.
- 호도법을 육십분법을 다르게 적은 표기로만 본다. 변환 공식만 외우기 때문이다. 호도법은 반지름과 호의 길이의 비로 각을 재는 방법이며, 반지름과 호의 길이가 같을 때의 중심각이 1라디안이다. 이렇게 재면 각이 단위 없는 실수가 되어 함수의 변수로 쓸 수 있다.
- 호도법으로 쓴 각에 단위가 빠졌다고 보고 도로 바꾸어 계산한다. 숫자만 있으면 어색하기 때문이다. 원주율이 없는 실수로 쓴 각도 호도법의 각이다. 삼각함수의 그래프를 그릴 때 가로축은 이 실수를 그대로 쓴다.
삼각함수의 뜻
- 삼각함수를 직각삼각형의 변의 비로만 이해한다. 중학교의 삼각비에서 출발하기 때문이다. 좌표평면에서 원점을 중심으로 회전하는 동경을 이용하면 어떤 실수인 각에 대해서도 값을 정할 수 있다. 직각삼각형으로는 예각만 다룰 수 있다.
- 각이 어느 사분면에 있든 삼각함수의 값이 양수라고 본다. 중학교 삼각비의 값이 모두 양수였기 때문이다. 동경이 있는 사분면에 따라 각 함수의 부호가 달라진다. 좌표의 부호에서 그대로 따라 나오므로 외우기보다 좌표로 확인하는 편이 낫다.
- 탄젠트함수가 모든 실수에서 값을 갖는다고 본다. 사인과 코사인이 그렇기 때문이다. 탄젠트함수는 분모가 되는 값이 0이 되는 각에서 정의되지 않는다. 그래프가 그 자리에서 끊어지는 이유가 여기에 있다.
삼각함수의 그래프
- 사인함수와 코사인함수의 주기를 다르게 본다. 그래프의 모양이 달라 보이기 때문이다. 두 함수의 주기는 모두 2파이로 같고, 코사인함수의 그래프는 사인함수의 그래프를 가로로 옮긴 것과 같다. 탄젠트함수의 주기는 파이로 다르다.
- 함수의 식 앞에 붙은 수와 변수에 곱해진 수의 역할을 뒤바꾼다. 둘 다 곱해진 수로 보이기 때문이다. 식 앞의 수는 그래프를 세로로 늘이거나 줄여 최댓값과 최솟값을 바꾸고, 변수에 곱해진 수는 가로로 늘이거나 줄여 주기를 바꾼다.
- 주기를 구할 때 변수에 곱해진 수를 그대로 쓴다. 곱한 수가 클수록 주기도 커진다고 생각하기 때문이다. 변수에 곱해진 수가 커지면 그래프가 가로로 촘촘해지므로 주기는 오히려 짧아진다. 그 수가 0이 아닐 때 원래 주기를 그 수의 절댓값으로 나눈 값이 새 주기다.
- 삼각함수가 포함된 방정식에서 구간 안의 해를 하나만 찾고 끝낸다. 방정식은 해가 하나라고 여기기 때문이다. 삼각함수는 같은 값을 주기마다 되풀이하므로 주어진 구간 안에 해가 여러 개 있을 수 있다. 그래프와 가로선의 교점을 모두 세어야 한다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
각의 크기는 0도에서 360도 사이의 값만 가질 수 있다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
중학교에서는 주로 도형의 각을 다루기 때문에 각이 0도에서 360도 사이에만 있다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 시초선에서 동경이 회전한 양으로 각을 보면, 한 바퀴를 넘어 계속 회전하거나 반대 방향으로 돌아 음수가 되는 각도 모두 각으로 나타낼 수 있어요. 또한 동경의 위치가 같더라도 360도의 정수배만큼 차이 나는 서로 다른 각들이 그 동경을 나타낼 수 있어요.
호도법은 반지름과 호의 길이의 비로 각을 정의하기 때문에, 각의 크기가 단위 없는 실수로 표현된다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
각도 변환 공식(예: 180° = π rad)을 반복적으로 사용하다 보면, 호도법을 육십분법을 다르게 표기한 것에 불과하다고 느끼기 쉬워요. 실제로는 호도법은 '반지름의 길이와 호의 길이가 같아질 때의 중심각을 1라디안으로 정의'하는, 각을 재는 방식 자체가 다른 방법이에요. 이렇게 각을 재면 길이÷길이로 단위가 사라지기 때문에, 각이 단위 없는 실수가 되어 함수의 변수로 자연스럽게 쓸 수 있어요.
호도법으로 나타낸 각에서 π가 없는 순수한 실수는 단위가 빠진 것이므로 도(°)로 바꾸어 계산해야 한다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
각을 숫자만으로 쓰면 단위가 빠진 것처럼 느껴져서 도(°)로 바꾸어야 한다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 호도법에서는 π가 없는 실수, 예를 들어 1이나 2 같은 값도 그 자체가 완전한 각의 표현이에요. 삼각함수의 그래프를 그릴 때 가로축은 이 실수를 도로 변환하지 않고 그대로 사용하는 것이 맞아요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반