피어남

뿌리학습 · 고등 수학

삼각함수의 활용

앞 단원에서 삼각함수를 회전하는 동경으로 정의하고 그래프를 살폈다. 이번에는 다시 삼각형으로 돌아온다. 삼각형의 변의 길이와 각의 크기 사이에는 일정한 관계가 있고, 그 관계를 쓰면 직접 재기 어려운 거리나 높이를 계산으로 구할 수 있다. 이 단원에서는 그 두 가지 관계와 넓이를 구하는 방법을 배운다.

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개념 정리

첫 번째는 사인법칙이다. 삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}와 마주 보는 변의 길이를 각각 aa, bb, cc라 하면 asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R가 성립한다. 여기서 RR는 외접원의 반지름이다. 변과 짝이 되는 각은 그 변과 마주 보는 각이라는 점을 놓치면 안 된다. 이 법칙은 한 변과 그 대각이 짝으로 주어졌을 때나 두 각과 한 변이 주어졌을 때 쓴다. 외접원의 반지름이 나오는 문제에서도 이 식을 떠올리면 된다.
한 가지 조심할 점이 있다. 사인 값으로 각을 구할 때는 답이 두 개일 수 있다. 삼각형의 내각 범위 안에서 사인 값이 11보다 작으면 예각과 그 보각인 둔각이 모두 가능하기 때문이다. 사인 값이 11이면 직각 하나뿐이다. 다른 조건을 이용해 어느 쪽인지 가려야 한다.
두 번째는 코사인법칙이다. a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A이고 bb, cc에 대해서도 같은 꼴이 성립한다. 좌변에 오는 변은 사용한 각과 마주 보는 변이다. 여기서 각 A\mathrm{A}가 직각이면 cos⁡A=0\cos A=0이 되어 마지막 항이 사라지고 피타고라스 정리가 된다. 곧 코사인법칙은 피타고라스 정리를 직각이 아닌 삼각형까지 넓힌 관계다. 이 법칙은 두 변과 그 끼인각이 주어졌을 때, 또는 세 변이 모두 주어졌을 때 쓴다.
각을 구할 때는 식을 cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}로 바꾼다. 이때 코사인 값이 음수로 나오면 그 각은 둔각이다. 부호가 결과의 뜻을 바꾸므로 계산이 끝난 뒤 확인해야 한다.
넓이도 삼각함수로 구할 수 있다. 두 변의 길이가 bb, cc이고 그 끼인각이 AA이면 넓이는 12bcsin⁡A\frac{1}{2}bc\sin A다. 높이를 따로 구하지 않아도 되는 것이 이 식의 장점이다. 다만 끼인각이 아닌 각을 쓰면 성립하지 않으므로 어느 각이 두 변 사이에 있는지 확인해야 한다. 예를 들어 두 변이 44와 66이고 끼인각이 30∘30^\circ이면 넓이는 12×4×6×12=6\frac{1}{2}\times4\times6\times\frac{1}{2}=6이다.
두 법칙은 실생활 문제에서 힘을 발휘한다. 강 건너편 건물까지의 거리나 산의 높이처럼 직접 잴 수 없는 값도, 잴 수 있는 거리와 각을 재어 삼각형을 만들면 구할 수 있다. 이때 가장 먼저 할 일은 그림을 그려 주어진 변과 각을 표시하는 것이다. 무엇이 짝으로 주어졌는지 보이면 어느 법칙을 쓸지 정해진다. 마지막에는 구한 값이 삼각형으로 성립하는지, 세 각의 합과 변의 길이 관계가 맞는지 확인하는 습관이 필요하다.

자주 하는 착각

사인법칙

  1. 사인법칙을 삼각형의 세 변이 주어졌을 때 쓰려 한다. 두 법칙을 상황과 짝지어 익히지 않았기 때문이다. 사인법칙은 한 변과 그 대각이 짝으로 주어졌을 때나 두 각과 한 변이 주어졌을 때처럼 변과 마주 보는 각을 이어 쓸 수 있을 때 쓴다. 세 변만 주어진 경우에는 먼저 코사인법칙으로 한 각을 구해야 한다.
  2. 사인법칙에서 변과 각을 아무렇게나 짝짓는다. 식의 모양만 기억하기 때문이다. 변과 짝이 되는 각은 그 변과 마주 보는 각이다. 삼각형에 표시를 하면서 어느 각이 어느 변과 마주 보는지 확인해야 한다.
  3. 사인법칙의 비가 외접원의 지름과 같다는 점을 놓친다. 비의 값이 일정하다는 것까지만 외우기 때문이다. 이 비는 외접원의 반지름의 두 배와 같다. 외접원의 반지름을 묻는 문제는 이 관계를 쓰라는 신호다.
  4. 사인 값으로 각을 구할 때 가능한 각이 두 개일 수 있다는 점을 놓친다. 방정식의 해를 하나만 찾기 때문이다. 삼각형의 내각 범위에서 사인 값이 1보다 작으면 예각과 그 보각인 둔각 두 가지가 가능하고, 사인 값이 1이면 직각 하나뿐이다. 두 가지가 가능한 경우에는 다른 조건으로 어느 쪽인지 가려야 한다.

코사인법칙

  1. 코사인법칙을 피타고라스 정리와 같은 것으로 본다. 식의 앞부분이 비슷하기 때문이다. 코사인법칙은 직각이 아닌 삼각형에서도 성립하는 일반적인 관계이고, 끼인각이 직각일 때 마지막 항이 사라져 피타고라스 정리가 된다.
  2. 코사인법칙을 쓸 때 각과 마주 보는 변을 잘못 잡는다. 문자를 대입하는 데만 집중하기 때문이다. 좌변에 오는 변은 사용한 각과 마주 보는 변이다. 이 대응을 틀리면 식 전체가 어긋난다.
  3. 각을 구하는 꼴로 변형할 때 부호를 놓친다. 이항하면서 순서를 바꾸기 때문이다. 코사인 값이 음수로 나오면 그 각은 둔각이다. 부호가 결과의 의미를 바꾸므로 계산 뒤에 다시 확인해야 한다.

삼각형의 넓이와 활용

  1. 삼각형의 넓이를 구할 때 밑변과 높이만 찾으려 한다. 초등부터 쓰던 공식이 익숙하기 때문이다. 두 변과 그 끼인각을 알면 높이를 따로 구하지 않고 넓이를 구할 수 있다. 끼인각이 아닌 각을 쓰면 성립하지 않는다.
  2. 실생활 문제에서 그림을 그리지 않고 식부터 세운다. 값이 주어져 있으니 대입하면 된다고 보기 때문이다. 삼각형을 그려 주어진 변과 각을 표시하면 어느 법칙을 쓸지 바로 보인다. 그림이 곧 풀이의 설계도다.
  3. 구한 답이 삼각형으로 성립하는지 확인하지 않는다. 계산이 끝나면 답이라고 여기기 때문이다. 세 각의 합이 180도인지, 가장 긴 변이 나머지 두 변의 합보다 짧은지 확인해야 한다. 조건에 맞지 않는 값은 버려야 한다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

삼각형의 세 변이 모두 주어진 경우에도 사인법칙을 바로 적용하여 각을 구할 수 있다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

사인법칙과 코사인법칙을 어떤 상황에 써야 하는지 명확히 짝지어 익히지 않으면, 세 변만 주어진 경우에도 사인법칙을 바로 떠올리기 쉬워요. 실제로 사인법칙은 한 변과 그 변에 마주 보는 각이 함께 주어지거나, 두 각과 한 변이 주어진 경우처럼 변과 각이 짝으로 연결될 때 쓸 수 있어요. 세 변만 주어진 경우에는 변과 마주 보는 각의 정보가 없으므로, 먼저 코사인법칙으로 한 각의 크기를 구하는 것이 맞아요.
사인법칙에서 변과 짝이 되는 각은 그 변과 마주 보는 각이어야 한다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

사인법칙의 식 형태인 a/sin A = b/sin B = c/sin C만 외우다 보면, 변과 각의 대응 관계보다 식의 모양 자체에만 집중하기 쉬워요. 실제로는 변 a에 짝이 되는 각 A는 변 a와 마주 보는 각이어야 하며, 이 대응 관계가 어긋나면 식이 성립하지 않아요. 삼각형을 직접 그리고 어느 각이 어느 변과 마주 보는지 표시해 가며 확인하는 습관이 도움이 돼요.
사인법칙에서 각 변과 대각의 사인값의 비는 일정하지만, 그 값이 외접원과 특별한 관계를 갖지는 않는다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

사인법칙을 공부할 때 '비가 일정하다'는 사실에 집중하다 보면, 그 비의 구체적인 값이 무엇을 뜻하는지까지는 놓치기 쉬워요. 실제로는 그 일정한 비의 값이 외접원의 반지름을 R이라 할 때 2R과 같아요. 그래서 문제에서 외접원의 반지름을 구하라고 하면, 사인법칙의 비를 활용해 2R의 값을 먼저 구한 뒤 R을 찾으면 돼요.

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