뿌리학습 · 고등 수학

유리함수와 무리함수

이 단원에서는 분수 꼴의 식으로 나타나는 유리함수와 근호가 들어간 식으로 나타나는 무리함수의 그래프를 배운다. 두 함수 모두 기본이 되는 간단한 그래프를 먼저 익힌 뒤, 도형의 이동에서 배운 평행이동과 대칭이동을 이용해 여러 그래프를 그린다. 그래프를 그리기 전에 식이 정의되는 범위를 먼저 확인하는 것이 핵심이다.

이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?

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개념 정리

x

에 대한 유리식으로 나타나는 함수를 유리함수라 한다. 분모를

0

으로 만드는 실수에서는 함수가 정의되지 않으므로, 따로 말이 없으면 정의역은 분모를

0

으로 만드는 실수를 뺀 실수 전체로 한다.

유리함수

y=\frac{k}{x}

(

k\ne0

)의 그래프는 원점에 대하여 대칭인 곡선으로,

x

축과

y

축에 한없이 가까워지지만 만나지는 않는다. 이렇게 그래프가 한없이 가까워지는 직선을 점근선이라 한다.

k>0

이면 그래프는 제1사분면과 제3사분면에,

k<0

이면 제2사분면과 제4사분면에 있다.

y=\frac{k}{x-p}+q

(

k\ne0

)의 그래프는

y=\frac{k}{x}

의 그래프를

x

축의 방향으로

p

만큼,

y

축의 방향으로

q

만큼 평행이동한 것이다. 따라서 점근선은

x=p

y=q

이고, 그래프는 점

(p, q)

에 대하여 대칭이다.

c\ne0

이고

ad-bc\ne0

인

y=\frac{ax+b}{cx+d}

꼴은 이 꼴로 바꿔서 그리며, 점근선은

x=-\frac{d}{c}

y=\frac{a}{c}

이다. 예를 들어

y=\frac{2x+1}{x-1}=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=\frac{3}{x-1}+2

이므로 점근선은

x=1

y=2

이다.

x

에 대한 무리식으로 나타나는 함수를 무리함수라 한다. 실수 범위에서 근호 안은

0

이상이어야 하므로, 따로 말이 없으면 정의역은 근호 안을

0

이상으로 만드는

x

의 값 전체로 한다.

y=\sqrt{ax}

(

a\ne0

)의 그래프는 원점에서 시작해

a>0

이면 오른쪽 위로,

a<0

이면 왼쪽 위로 뻗는다.

y=-\sqrt{ax}

의 그래프는 이를

x

축에 대하여 대칭이동한 것이다.

y=\sqrt{a(x-p)}+q

의 그래프는

y=\sqrt{ax}

의 그래프를

x

축의 방향으로

p

만큼,

y

축의 방향으로

q

만큼 평행이동한 것이라서 점

(p, q)

에서 시작한다. 예를 들어

y=\sqrt{2x-4}+1=\sqrt{2(x-2)}+1

의 그래프는 점

(2, 1)

에서 시작해 오른쪽 위로 뻗고, 정의역은

x\ge2

, 치역은

y\ge1

이다.

무리함수와 이차함수는 역함수 관계로 이어진다.

y=\sqrt{x}

의 역함수는

y=x^2

(

x\ge0

)이고, 두 그래프는 직선

y=x

에 대하여 대칭이다. 이처럼 앞 단원의 역함수와 도형의 이동이 이 단원의 그래프를 이해하는 도구가 된다.

자주 하는 착각

유리함수

분모를 0으로 만드는 x의 값도 정의역에 넣는다. 식을 그대로 계산할 수 있다고 생각하기 때문이다. 유리함수의 정의역은 분모를 0으로 만드는 값을 뺀 실수 전체다.
유리함수 y=k/(x-p)+q(k≠0)의 점근선을 x=-p, y=-q로 읽는다. 괄호 안의 부호를 그대로 옮기기 때문이다. 점근선은 x=p, y=q이다. 분모를 0으로 만드는 x의 값이 세로 점근선이다.
그래프가 점근선과 만나거나 점근선을 가로지른다고 그린다. 점근선을 그래프의 일부로 생각하기 때문이다. 이 단원에서 다루는 y=k/(x-p)+q(k≠0) 꼴의 그래프는 점근선에 한없이 가까워질 뿐 만나지 않는다.
y=(ax+b)/(cx+d) 꼴에서 점근선을 분자와 분모의 상수항으로 바로 읽는다. 식의 모양만 보고 판단하기 때문이다. c≠0이고 ad-bc≠0일 때, 식을 k/(x-p)+q 꼴로 변형하거나 점근선이 x=-d/c, y=a/c임을 이용해 구해야 한다.
y=k/x의 그래프가 k의 부호와 관계없이 같은 사분면에 있다고 본다. 그래프 모양만 기억하기 때문이다. k가 양수이면 제1사분면과 제3사분면에, 음수이면 제2사분면과 제4사분면에 그래프가 있다.

무리함수

근호 안이 음수가 되는 x의 값도 정의역에 넣는다. 식에 값을 넣으면 계산된다고 생각하기 때문이다. 실수 범위에서 근호 안은 0 이상이어야 하므로 정의역은 근호 안을 0 이상으로 만드는 x의 값 전체다.
y=√(a(x-p))+q의 그래프가 시작하는 점을 (-p, -q)로 읽는다. 괄호 안의 부호를 그대로 옮기기 때문이다. 그래프는 점 (p, q)에서 시작한다.
무리함수의 그래프를 이차함수처럼 포물선 전체 모양으로 그린다. 역함수 관계인 이차함수의 그래프 모양만 기억하기 때문이다. 이 단원에서 다루는 제곱근 꼴의 무리함수 그래프는 포물선의 한쪽 부분과 같은 모양이며, 시작점에서 한쪽 방향으로만 뻗는다.
y=-√x의 그래프와 y=√(-x)의 그래프를 같은 것으로 본다. 둘 다 부호가 붙어 있기 때문이다. y=-√x는 y=√x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 것이고, y=√(-x)는 y축에 대하여 대칭이동한 것이다.
y=√x의 역함수를 y=x²으로만 쓰고 정의역을 빠뜨린다. 식을 구하는 데만 집중하기 때문이다. y=√x의 치역이 0 이상이므로 역함수는 y=x²(x는 0 이상)이다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

유리함수에서 분모를 0으로 만드는 x의 값도 정의역에 포함된다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

분모에 x가 있어도 식을 그냥 대입해서 계산할 수 있다고 생각하기 쉬워요. 하지만 분모가 0이 되면 나눗셈 자체가 성립하지 않아 함수값이 정의되지 않아요. 그래서 실제로는 분모를 0으로 만드는 x의 값은 정의역에서 반드시 빼야 해요.

유리함수 y=k/(x-p)+q에서 점근선은 x=p, y=q이다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

식에서 (x-p)의 괄호 안 부호를 그대로 읽어 x=-p라고 생각하기 쉬워요. 실제로는 분모 x-p를 0으로 만드는 x의 값, 즉 x=p가 세로 점근선이에요. 마찬가지로 y=q가 가로 점근선이므로, 괄호 안 부호와 반대 부호를 취해야 한다는 점에 주의가 필요해요.

y=k/(x-p)+q(k≠0) 꼴의 그래프는 점근선과 만나거나 점근선을 가로지를 수 있다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

점근선이 그래프 위에 함께 그려져 있다 보니 점근선을 그래프의 일부로 여기기 쉬워요. 그래서 그래프가 점근선에 닿거나 넘어가도 된다고 생각하게 되는 거예요. 실제로는 y=k/(x-p)+q(k≠0) 꼴의 그래프는 점근선에 한없이 가까워지기만 할 뿐, 어떤 점에서도 점근선과 만나지 않아요.

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