피어남

뿌리학습 · 고등 수학

이차함수와 이차방정식·부등식

이 단원에서는 이차방정식, 이차함수, 이차부등식이 하나의 그래프로 연결된다는 것을 배운다. 이차방정식의 근은 그래프와 가로축이 만나는 위치이고, 이차부등식의 해는 그래프가 가로축보다 위나 아래에 있는 구간이다. 그래프를 떠올리면 공식을 외우지 않아도 판단할 수 있고, 이차함수의 최댓값과 최솟값도 같은 방법으로 구할 수 있다.

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개념 정리

이차방정식 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0의 실근은 이차함수 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c의 그래프와 xx축이 만나는 점의 xx좌표이다. 그래서 계수가 실수일 때 판별식 D=b2−4acD=b^2-4ac로 그래프와 xx축의 위치 관계를 알 수 있다. D>0D>0이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D=0D=0이면 한 점에서 만나며(접한다), D<0D<0이면 만나지 않는다.
이차함수 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c(a≠0a\ne0)의 그래프와 직선 y=mx+ny=mx+n의 위치 관계도 같은 방법으로 판단한다. 두 식을 연립해 얻은 이차방정식 ax2+(b−m)x+(c−n)=0ax^2+(b-m)x+(c-n)=0의 판별식이 양수이면 서로 다른 두 점에서 만나고, 00이면 한 점에서 만나며(접하며), 음수이면 만나지 않는다.
이차함수를 y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q 꼴로 바꾸면 꼭짓점 (p,q)(p, q)에서 최대나 최소가 정해진다. a>0a>0이면 x=px=p일 때 최솟값 qq를 가지고 최댓값은 없으며, a<0a<0이면 x=px=p일 때 최댓값 qq를 가지고 최솟값은 없다. xx의 범위가 정해져 있으면 꼭짓점이 그 범위 안에 있는지 먼저 확인하고, 꼭짓점의 함숫값과 범위 양 끝의 함숫값을 비교한다. 예를 들어 0≤x≤30\le x\le3에서 y=x2−4x+1=(x−2)2−3y=x^2-4x+1=(x-2)^2-3은 꼭짓점의 xx좌표 22가 범위 안에 있으므로 최솟값은 −3-3이고, 양 끝의 함숫값 11과 −2-2 중 큰 값인 11이 최댓값이다.
이차부등식은 그래프로 푼다. a>0a>0이고 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0이 서로 다른 두 실근 α\alpha, β\beta(α<β\alpha<\beta)를 가지면, ax2+bx+c>0ax^2+bx+c>0의 해는 x<αx<\alpha 또는 x>βx>\beta이고, ax2+bx+c<0ax^2+bx+c<0의 해는 α<x<β\alpha<x<\beta이다. 예를 들어 x2−5x+6<0x^2-5x+6<0은 (x−2)(x−3)<0(x-2)(x-3)<0이므로 해가 2<x<32<x<3이다. 이차항의 계수가 음수이면 양변에 −1-1을 곱해 양수로 만든 뒤 부등호의 방향을 바꿔서 푼다.
판별식이 00 이하인 경우도 그래프로 판단한다. x2+2x+1>0x^2+2x+1>0은 (x+1)2>0(x+1)^2>0이므로 해는 x≠−1x\ne-1인 모든 실수이다. x2+x+1x^2+x+1은 판별식이 음수이고 그래프가 항상 xx축보다 위에 있으므로 x2+x+1>0x^2+x+1>0의 해는 모든 실수, x2+x+1<0x^2+x+1<0의 해는 없다. 그래서 이차부등식 ax2+bx+c>0ax^2+bx+c>0(a≠0a\ne0)이 모든 실수 xx에 대하여 성립할 조건은 a>0a>0이고 D<0D<0이다. 두 개 이상의 부등식을 함께 만족시키는 연립부등식의 해는 각 부등식의 해의 공통부분이다.
이 단원은 앞 단원의 판별식과 인수분해를 모두 사용하며, 이후 미분에서 함수의 최대·최소와 그래프의 개형을 다루는 바탕이 된다.

자주 하는 착각

이차방정식과 이차함수

  1. 이차방정식의 실근을 이차함수의 그래프와 x축이 만나는 점의 y좌표로 본다. 그래프와 방정식의 연결을 좌표로 정확히 옮기지 못하기 때문이다. 교점의 y좌표는 0이고, 실근은 교점의 x좌표이다.
  2. 판별식이 음수이면 이차함수의 그래프가 없다고 본다. 방정식의 근이 없는 것과 그래프가 없는 것을 같게 생각하기 때문이다. 그래프는 있고, 다만 x축과 만나지 않는다. 이차항의 계수가 양수이면 그래프 전체가 x축보다 위에 있다.
  3. 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 판단할 때 직선의 기울기만 비교한다. 직선끼리의 관계와 섞어 생각하기 때문이다. 두 식을 연립해 만든 이차방정식의 판별식으로 판단해야 한다.

이차함수의 최대·최소

  1. 꼭짓점의 y좌표를 항상 최솟값으로 답한다. 아래로 볼록한 그래프만 떠올리기 때문이다. 이차항의 계수가 양수이면 꼭짓점에서 최솟값, 음수이면 꼭짓점에서 최댓값을 가진다.
  2. x의 범위가 주어졌는데도 꼭짓점의 y좌표를 최솟값이나 최댓값으로 답한다. 범위를 확인하지 않기 때문이다. 꼭짓점이 범위 안에 있는지 먼저 보고, 범위 양 끝의 함숫값과 함께 비교해야 한다.
  3. y=a(x-p)²+q의 꼭짓점을 (-p, q)로 읽는다. 괄호 안의 부호를 그대로 옮기기 때문이다. 꼭짓점은 (p, q)이다.

이차부등식

  1. x²-5x+6>0의 해를 2<x<3으로 쓴다. 두 근 사이를 무조건 답으로 쓰기 때문이다. 이차항의 계수가 양수일 때 0보다 큰 부분은 두 근의 바깥쪽이므로 해는 x<2 또는 x>3이다.
  2. 이차항의 계수가 음수인 부등식을 그대로 풀거나, 양변에 -1을 곱하고 부등호 방향을 바꾸지 않는다. 음수를 곱할 때의 규칙을 놓치기 때문이다. 양변에 -1을 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다.
  3. 판별식이 음수인 x²+x+1>0의 해가 없다고 본다. 근이 없으면 해도 없다고 생각하기 때문이다. 그래프가 항상 x축보다 위에 있으므로 이 부등식의 해는 모든 실수이고, 반대로 x²+x+1<0의 해가 없다.
  4. 연립부등식의 해를 각 부등식의 해를 모두 합친 범위로 쓴다. '연립'을 '또는'으로 이해하기 때문이다. 연립부등식의 해는 각 부등식의 해의 공통부분이다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

이차방정식의 실근은 이차함수의 그래프와 x축이 만나는 점의 y좌표이다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

그래프와 방정식을 연결할 때 '교점의 좌표'라는 표현에서 x좌표와 y좌표를 혼동하기 쉬워요. 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 교점에서 y좌표는 항상 0이고, 그 점의 x좌표가 바로 이차방정식의 실근이에요.
판별식이 음수이더라도 이차함수의 그래프는 존재하며, 다만 x축과 만나지 않는다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

이차방정식의 근이 없다는 것과 그래프가 없다는 것을 같은 의미로 받아들이기 쉬워요. 실제로는 근이 없다는 것은 그래프가 x축과 교점을 갖지 않는다는 뜻일 뿐, 그래프 자체는 분명히 존재해요. 예를 들어 이차항의 계수가 양수일 때 판별식이 음수이면, 그래프 전체가 x축보다 위쪽에 위치하는 포물선으로 그려진답니다.
이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계는 직선의 기울기를 비교하여 판단할 수 있다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

직선과 직선의 위치 관계를 따질 때는 기울기를 비교하는 방법을 사용하기 때문에, 이차함수의 그래프와 직선의 관계에도 같은 방식을 적용하려 하기 쉬워요. 실제로는 이차함수의 식과 직선의 식을 연립해 이차방정식을 만든 뒤, 그 판별식의 값에 따라 서로 다른 두 점에서 만나는지, 한 점에서 접하는지, 만나지 않는지를 판단해야 해요.

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