뿌리학습 · 고등 수학
확률의 뜻과 활용, 조건부확률
어떤 일이 일어날 가능성을 수로 나타낸 것이 확률이다. 중학교에서 기초를 배웠다면, 이 단원에서는 확률을 정확히 정의하고 성질을 정리한 뒤, 조건이 주어진 상황에서의 확률과 사건 사이의 관계까지 다룬다. 불확실한 상황에서도 근거를 가지고 판단할 수 있게 해 주는 도구를 하나씩 갖추어 가는 과정이다.
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개념 정리
같은 조건에서 되풀이할 수 있고 그 결과가 우연에 따라 정해지는 실험이나 관찰을 시행이라 하고, 시행의 결과로 일어나는 것을 사건이라 한다. 확률을 정하는 방법은 두 가지다. 각 경우가 일어날 가능성이 같은 정도로 기대될 때 사건에 속한 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 값이 수학적 확률이다. 한편 실제로 시행을 여러 번 해서 얻은 상대도수가 통계적 확률이다. 같은 조건에서 서로 영향을 주지 않게 시행을 되풀이한다면, 시행 횟수가 커질수록 통계적 확률은 수학적 확률에 가까워진다.
확률에는 기본 성질이 있다. 어떤 사건의 확률은 이상 이하이고, 반드시 일어나는 사건의 확률은 , 절대로 일어나지 않는 사건의 확률은 이다. 두 사건 가운데 적어도 하나가 일어날 확률은 덧셈정리로 구한다. 이며, 두 사건이 동시에 일어나지 않는 배반사건이면 마지막 항이 이 되어 그냥 더하면 된다.
반대 상황을 이용하면 편할 때가 많다. 사건 가 일어나지 않는 사건을 여사건이라 하고 그 확률은 다. 적어도 하나가 일어날 확률처럼 따져야 할 경우가 많은 문제에서는 하나도 일어나지 않을 확률을 구해 에서 빼는 것이 훨씬 간단하다.
이제 조건이 주어진 상황이다. 사건 가 일어났다는 조건에서 사건 가 일어날 확률을 조건부확률이라 하고 로 쓰며, 일 때 다. 분모가 전체가 아니라 조건이 된 사건의 확률이라는 점이 핵심이다. 조건이 주어지면 따지는 범위가 그 사건 안으로 좁아지기 때문이다. 여기서 두 가지를 조심해야 한다. 세로선의 오른쪽이 조건이므로 와 는 일반적으로 다르다. 또 조건부확률은 조건이 주어진 상황에서의 가능성을 나타낼 뿐이며 원인과 결과나 시간의 순서를 뜻하지 않는다.
이 식을 고쳐 쓰면 곱셈정리가 된다. 일 때 이다. 한 사건이 일어나는 것이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 주지 않을 때 두 사건은 독립이라 하고, 이는 로 나타낼 수 있다. 이면 이 관계는 와 같은 말이 된다. 영향을 주면 종속이다. 여기서 배반과 독립을 섞지 말아야 한다. 배반은 동시에 일어나지 않는다는 뜻이고 독립은 서로 영향을 주지 않는다는 뜻으로, 서로 다른 개념이다.
같은 시행을 여러 번 되풀이하고 각 시행이 서로 영향을 주지 않으면 독립시행이라 한다. 한 번의 시행에서 어떤 사건이 일어날 확률이 일 때 번 중 번 일어날 확률은 이다. 어느 회차에 일어나는지를 고르는 경우의 수가 앞에 곱해진다는 점을 빠뜨리면 안 된다. 동전을 세 번 던져 앞면이 두 번 나올 확률은 이다. 이 식의 꼴은 다음 단원의 이항분포로 그대로 이어진다.
자주 하는 착각
확률의 뜻
- 수학적 확률과 통계적 확률을 같은 것으로 본다. 둘 다 확률이라 불리기 때문이다. 수학적 확률은 각 경우가 일어날 가능성이 같다고 보고 경우의 수로 계산한 값이고, 통계적 확률은 실제로 시행해 얻은 비율이다. 시행 횟수를 크게 늘리면 통계적 확률이 수학적 확률에 가까워진다.
- 경우의 수만 세면 언제나 수학적 확률을 구할 수 있다고 본다. 분모와 분자를 세는 절차에만 집중하기 때문이다. 각 경우가 일어날 가능성이 같은 정도로 기대될 때에만 그렇게 계산할 수 있다. 가능성이 다른 경우를 한데 묶어 세면 값이 어긋난다.
확률의 성질과 덧셈정리
- 두 사건 가운데 하나가 일어날 확률을 두 확률의 합으로만 구한다. 배반인 경우만 다뤄 봤기 때문이다. 두 사건이 동시에 일어날 수 있으면 겹치는 부분의 확률을 빼야 한다. 배반사건일 때만 그냥 더할 수 있다.
- 여사건의 확률을 쓸 자리를 알아보지 못한다. 조건을 그대로 세려 하기 때문이다. 적어도 하나가 일어날 확률처럼 경우가 많은 문제는 반대 상황의 확률을 구해 1에서 빼는 편이 간단하다.
조건부확률
- 조건부확률에서 분모를 전체 경우의 확률로 둔다. 확률은 전체를 분모로 한다고 생각하기 때문이다. 조건이 주어졌다는 것은 셈의 범위가 그 사건으로 좁아졌다는 뜻이므로, 분모는 조건이 된 사건의 확률이다.
- 어느 사건이 조건인지 뒤바꾼다. 두 표기가 비슷해 보이기 때문이다. 세로선의 오른쪽에 있는 것이 조건이 되는 사건이다. 두 확률은 일반적으로 값이 다르므로 무엇이 주어진 상황인지 문장에서 가려야 한다.
- 조건부확률을 원인과 결과의 관계로 읽는다. 조건이라는 말이 원인처럼 느껴지기 때문이다. 조건부확률은 어떤 조건이 주어진 상황에서의 가능성을 수치로 나타낸 것일 뿐이고, 시간의 순서나 인과관계를 뜻하지 않는다.
독립과 종속, 곱셈정리
- 배반사건과 독립인 사건을 같은 것으로 본다. 둘 다 서로 관계없다는 인상을 주기 때문이다. 배반은 두 사건이 동시에 일어나지 않는다는 뜻이고, 독립은 한 사건이 일어나는 것이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 주지 않는다는 뜻으로 두 사건이 함께 일어날 확률이 각 확률의 곱과 같다는 것으로 나타낸다. 서로 다른 개념이다.
- 두 사건이 함께 일어날 확률을 언제나 두 확률의 곱으로 구한다. 독립인 경우만 다뤄 봤기 때문이다. 일반적으로는 한 사건의 확률에 그 사건이 일어났을 때 다른 사건이 일어날 조건부확률을 곱한다. 두 사건이 독립일 때에만 각 확률을 그대로 곱할 수 있다.
- 독립시행에서 순서를 고려하는 항을 빠뜨린다. 한 가지 순서만 떠올리기 때문이다. 같은 시행을 여러 번 할 때 특정 횟수만큼 일어날 확률은 그 횟수를 고르는 경우의 수를 함께 곱해야 한다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
수학적 확률과 통계적 확률은 같은 것이므로 구분할 필요가 없다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
둘 다 '확률'이라는 이름으로 불리기 때문에 같은 개념이라고 생각하기 쉬워요. 실제로는 수학적 확률은 이론적으로 경우의 수를 세어 계산하는 값이고, 통계적 확률은 실제 시행을 통해 얻은 상대적인 비율이에요. 다만 시행 횟수를 크게 늘릴수록 통계적 확률이 수학적 확률에 가까워지는 관계가 있어요.
경우의 수를 세어 수학적 확률을 구하려면 각 경우가 일어날 가능성이 같은 정도로 기대되어야 한다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
분모와 분자를 세는 절차가 익숙하다 보니, 그 절차만 따르면 어떤 상황에서도 확률을 바르게 구할 수 있다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 각 경우가 일어날 가능성이 같을 때에만 그 방법이 맞아요. 가능성이 서로 다른 경우들을 하나하나 같은 것으로 묶어 세면 계산한 값이 실제 확률과 어긋나게 돼요.
두 사건 가운데 하나가 일어날 확률은 항상 두 사건의 확률을 더해서 구할 수 있다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
배반사건만 다루다 보면 두 사건의 확률을 그냥 더하는 것이 항상 맞다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 두 사건이 동시에 일어날 수 있을 때 그냥 더하면 겹치는 부분이 두 번 더해지기 때문에, 동시에 일어날 확률을 한 번 빼 주어야 해요. 두 사건이 동시에 일어날 수 없는 배반사건일 때만 그냥 더해도 정확한 값을 얻을 수 있어요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반