뿌리학습 · 고등 수학
다항식의 연산과 나머지정리
이 단원에서는 문자와 수로 이루어진 다항식을 더하고 빼고 곱하고 나누는 방법을 정리하고, 나눗셈을 직접 하지 않고도 나머지를 구하는 나머지정리를 배운다. 다항식의 계산은 이후 방정식, 부등식, 함수를 다루는 모든 단원의 바탕이 되므로, 부호와 차수를 정확히 다루는 습관을 여기서 들여야 한다.
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개념 정리
다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항끼리 모아 계산한다. 동류항은 문자와 차수가 모두 같은 항이다. 계산 전에 한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 차례로 늘어놓으면(내림차순) 실수가 줄어든다. 괄호 앞에 빼기 부호가 있으면 괄호 안의 모든 항의 부호를 바꿔서 괄호를 푼다.
다항식의 곱셈은 분배법칙으로 전개한다. 자주 쓰는 곱셈 공식은 외워 두면 편리하다. , , , 이다. 특히 을 으로 쓰는 실수를 조심해야 한다.
다항식 를 다항식 로 나누었을 때의 몫을 , 나머지를 라 하면 이고, 의 차수는 의 차수보다 낮다. 그래서 일차식으로 나눈 나머지는 상수, 이차식으로 나눈 나머지는 일차 이하의 식이다. 일차식으로 나누는 나눗셈은 직접 계산하면 되고, 계수만 적어 몫과 나머지를 구하는 조립제법은 다음 단원에서 삼차 이상의 다항식을 인수분해할 때 주로 활용한다.
에 어떤 값을 넣어도 항상 성립하는 등식을 에 대한 항등식이라 한다. 항등식은 양변의 같은 차수의 계수가 서로 같다. 예를 들어 가 에 대한 항등식이면 , 이다. 계수를 비교하는 대신 에 적당한 값을 넣어 식을 세우는 방법도 쓸 수 있다.
다항식 를 로 나눈 나머지는 이다. 에 를 넣으면 이 되기 때문이다. 이를 나머지정리라 한다. ()로 나눈 나머지는 이다. 특히 이면 나머지가 이므로 는 로 나누어떨어지고, 는 의 인수이다. 이를 인수정리라 한다. 예를 들어 이면 이므로 은 의 인수이다.
나머지정리와 인수정리는 다음 단원인 인수분해에서 삼차 이상의 다항식을 인수분해할 때 바로 쓰이고, 이후 고차방정식을 푸는 데까지 이어진다.
자주 하는 착각
다항식의 연산
- 괄호 앞에 빼기 부호가 있을 때 괄호 안의 첫 항만 부호를 바꾼다. 괄호를 푸는 과정을 서두르기 때문이다. 괄호 앞의 빼기 부호는 괄호 안의 모든 항에 적용되므로, 모든 항의 부호를 바꿔야 한다.
- 차수가 다른 항끼리 더한다. 문자가 같으면 더할 수 있다고 생각하기 때문이다. 문자와 차수가 모두 같은 동류항끼리만 더하거나 뺄 수 있다. x²과 x는 더해서 하나로 만들 수 없다.
- (a+b)²을 a²+b²으로 전개한다. 거듭제곱을 각 항에 나눠 준다고 생각하기 때문이다. (a+b)²=a²+2ab+b²이며, 가운데 항 2ab를 빠뜨리면 안 된다.
- (a+b)³을 전개할 때 가운데 항을 빠뜨리거나 계수를 틀린다. 제곱의 전개와 같은 방식으로 생각하기 때문이다. (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³이다.
- 다항식의 나눗셈에서 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 크거나 같은 채로 멈춘다. 나눗셈을 언제 끝내야 하는지 모르기 때문이다. 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작아질 때까지 계속 나눠야 한다.
항등식과 나머지정리
- 항등식과 방정식을 같은 것으로 본다. 둘 다 등호가 있는 식이기 때문이다. 방정식은 특정한 x에서만 참이고, 항등식은 x에 어떤 값을 넣어도 항상 참이다. 그래서 항등식에서는 양변의 같은 차수의 계수를 비교할 수 있다.
- 다항식 f(x)를 x-a로 나눈 나머지를 f(-a)로 구한다. 나누는 식의 부호를 그대로 옮기기 때문이다. x-a를 0으로 만드는 값은 x=a이므로 나머지는 f(a)이다.
- 다항식을 ax+b로 나눈 나머지를 f(b/a)나 f(-b)로 구한다. 일차식의 근을 잘못 구하기 때문이다. ax+b를 0으로 만드는 값은 -b/a이므로 나머지는 f(-b/a)이다.
- f(a)=0이면 x+a가 인수라고 본다. 대입한 값과 인수의 부호를 헷갈리기 때문이다. f(a)=0이면 x-a가 f(x)의 인수이다(인수정리).
- 이차식으로 나눈 나머지를 상수로 놓는다. 나머지는 항상 수라고 생각하기 때문이다. 나머지의 차수는 나누는 식보다 낮으므로, 이차식으로 나눈 나머지는 일차 이하의 식 ax+b로 놓아야 한다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
괄호 앞에 빼기 부호가 있을 때 괄호 안의 첫 번째 항의 부호만 바꾸면 된다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
괄호를 빠르게 풀려다 보면 눈에 먼저 들어오는 첫 번째 항의 부호만 바꾸고 넘어가기 쉬워요. 실제로는 괄호 앞의 빼기 부호가 괄호 안의 모든 항에 적용되기 때문에, 괄호 안에 있는 항 하나하나의 부호를 빠짐없이 바꿔 주어야 해요.
x²과 x는 차수가 다르기 때문에 동류항이 아니므로 하나의 항으로 합칠 수 없다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
문자가 같으면 항끼리 더할 수 있다고 생각하기 쉬워요. 하지만 항끼리 더하거나 빼려면 문자와 차수가 모두 같은 동류항이어야 해요. x²과 x는 문자는 같지만 차수가 다르기 때문에 동류항이 아니고, x²+x는 더 이상 하나로 합칠 수 없는 상태가 맞아요.
(a+b)²을 전개하면 a²+b²이다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
거듭제곱을 괄호 안의 각 항에 따로따로 적용할 수 있다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 (a+b)²은 (a+b)×(a+b)를 직접 전개해야 하며, 이 과정에서 2ab라는 가운데 항이 반드시 생겨요. 이 항을 빠뜨리면 계산 결과가 달라지므로 전개 과정을 한 단계씩 확인하는 습관이 도움이 돼요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반