피어남

뿌리학습 · 고등 수학

경우의 수(순열과 조합)

어떤 일이 일어나는 경우가 몇 가지인지 세는 일은 중학교에서도 다뤘다. 그런데 대상이 늘어나면 하나씩 적어 세는 방법으로는 감당하기 어렵다. 이 단원에서는 경우의 수를 세는 두 가지 기본 법칙을 정리하고, 순서를 따지는 순열과 따지지 않는 조합으로 체계를 세운다. 빠짐없이, 그러면서도 겹치지 않게 세는 방법을 익히는 단원이다.

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개념 정리

먼저 두 법칙이다. 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때, 곧 두 경우가 서로 겹치지 않을 때 두 사건 가운데 하나가 일어나는 경우의 수는 각각의 경우의 수를 더한 값이다. 이를 합의 법칙이라 한다. 한편 두 일이 잇따라 일어나 함께 하나의 결과를 이룰 때는 각 단계에서 가능한 가짓수를 세어 곱하며, 이를 곱의 법칙이라 한다. 여기서 두 가지를 조심해야 한다. 동시에 일어날 수 있는 두 사건이라면 겹치는 경우를 두 번 센 셈이므로 그만큼 빼야 하고, 곱의 법칙에서는 앞 단계의 결과에 따라 다음 단계의 가짓수가 줄어들 수 있으므로 그 시점에 남은 것을 세어야 한다.
서로 다른 nn개에서 0≤r≤n0\le r\le n인 rr개를 뽑아 순서를 정해 나열하는 것을 순열이라 하고, 그 경우의 수를 nPr_n\mathrm{P}_r로 나타낸다. 첫 자리에 올 수 있는 것이 nn가지, 그다음은 하나가 빠져 n−1n-1가지이므로 nn부터 하나씩 줄여 가며 rr개를 곱한다. 예를 들어 5P3=5×4×3=60_5\mathrm{P}_3=5\times4\times3=60이다. 이 값은 계승을 써서 n!(n−r)!\frac{n!}{(n-r)!}로도 쓴다. 여기서 n!n!은 11부터 nn까지 모두 곱한 값이고, 0!0!은 11로 약속한다. 그래야 rr이 nn과 같을 때도 식이 어긋나지 않는다.
순열에는 조건이 붙는 경우가 많다. 특정한 것들이 이웃해야 한다면 그것들을 하나로 묶어 전체를 배열한 뒤, 묶음 안에서 자리를 바꾸는 방법의 수를 곱한다. 네 사람 가운데 특정한 두 사람이 서로 이웃하게 세우는 방법은 그 두 사람을 하나로 묶어 세 덩어리를 배열하는 3!3!에 묶음 안에서 자리를 바꾸는 2!2!을 곱해 1212가지다.
이번에는 순서를 따지지 않는 경우다. 서로 다른 nn개에서 순서를 생각하지 않고 0≤r≤n0\le r\le n인 rr개를 뽑는 것을 조합이라 하고 그 수를 nCr_n\mathrm{C}_r로 쓴다. 순서를 따져 세면 같은 묶음이 r!r!번 거듭 세어지므로 순열의 수를 r!r!로 나눈다. 곧 nCr=nPrr!=n!r!(n−r)!_n\mathrm{C}_r=\frac{_n\mathrm{P}_r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}이다. 5C3=606=10_5\mathrm{C}_3=\frac{60}{6}=10이다. 여기서 유용한 관계가 하나 보인다. rr개를 뽑는 것은 뽑지 않을 n−rn-r개를 고르는 것과 같으므로 nCr=nCn−r_n\mathrm{C}_r={}_n\mathrm{C}_{n-r}이다. 뽑을 개수가 많을 때 계산이 훨씬 가벼워진다.
문제를 만나면 순서를 따지는지부터 판단하는 것이 핵심이다. 줄을 세우거나 자리를 정하거나 직책을 맡기면 순서를 따지므로 순열이고, 대표를 몇 명 뽑거나 묶음을 고르는 것이라면 조합이다. 두 가지가 섞인 문제도 있다. 뽑은 뒤 나열까지 해야 한다면 조합으로 뽑고 나서 배열하는 방법의 수를 곱한다. 어느 쪽인지 헷갈리면 작은 수로 바꾸어 직접 적어 보거나 수형도를 그려 확인하면 된다.
여기서 익힌 셈법은 뒤에서 계속 쓰인다. 확률과 통계에서는 중복을 허용하는 순열과 조합으로 넓어지고, 확률을 구할 때 분자와 분모를 세는 도구가 된다. 순열과 조합을 정확히 가르는 감각이 그 단원의 출발점이다.

자주 하는 착각

합의 법칙과 곱의 법칙

  1. 두 법칙 가운데 어느 것을 쓸지 문제의 표현만 보고 정한다. 또는이면 더하고 그리고이면 곱한다고 외웠기 때문이다. 기준은 두 사건이 동시에 일어날 수 있는지다. 서로 겹치지 않는 두 경우라면 가짓수를 더하고, 두 일이 잇따라 일어나 함께 하나의 결과를 이룬다면 각 단계의 가짓수를 세어 곱한다.
  2. 겹치는 경우가 있는데도 가짓수를 그대로 더한다. 두 경우를 따로 세는 데만 집중하기 때문이다. 두 사건이 동시에 일어날 수 있으면 겹치는 만큼을 빼야 한다. 세 다음에 겹친 것이 없는지 확인하는 습관이 필요하다.
  3. 곱의 법칙을 쓸 때 앞의 결과가 뒤에 영향을 주는 경우를 놓친다. 각 단계의 가짓수를 처음 상태로만 세기 때문이다. 앞에서 하나를 이미 썼다면 다음 단계에서 고를 수 있는 것이 줄어든다. 단계마다 그 시점에 남은 가짓수를 세어 곱해야 한다.

순열

  1. 순열과 조합을 구분하지 않고 문제를 푼다. 둘 다 뽑는 일이라고 보기 때문이다. 갈림길은 순서를 따지는지다. 뽑아서 줄을 세우거나 자리를 정하면 순열이고, 뽑기만 하고 순서를 따지지 않으면 조합이다.
  2. 순열의 수를 구할 때 나누는 것을 잘못 잡는다. 계승이 들어간 식의 모양만 기억하기 때문이다. 서로 다른 n개에서 r개를 뽑아 나열하는 방법의 수는 n부터 하나씩 줄여 가며 r개를 곱한 값이고, 이는 n의 계승을 n에서 r을 뺀 수의 계승으로 나눈 것과 같다.
  3. 0의 계승을 0이라고 본다. 계승이 곱이므로 0이 들어가면 0이 된다고 생각하기 때문이다. 0의 계승은 1로 약속한다. 그래야 순열의 수를 구하는 식이 r이 n과 같은 경우에도 어긋나지 않는다.
  4. 이웃해야 하는 조건이 있을 때 묶음 안의 배열을 빼먹는다. 묶어서 하나로 보는 데까지만 생각하기 때문이다. 묶음을 하나로 보고 전체를 배열한 뒤, 묶음 안에서 자리를 바꾸는 방법의 수를 곱해야 한다.

조합

  1. 조합의 수를 구할 때 나누는 까닭을 모른 채 식만 쓴다. 공식을 외워서 쓰기 때문이다. 순서를 따져 세면 같은 묶음이 뽑은 개수의 계승만큼 거듭 세어지므로 그 값으로 나눈다. 이 이유를 알면 순열과 조합을 오갈 수 있다.
  2. 뽑는 개수가 많으면 계산이 복잡하다고 그대로 진행한다. 남기는 쪽을 고르는 관점을 배우지 않았기 때문이다. n개에서 r개를 뽑는 방법의 수는 뽑지 않을 것을 고르는 방법의 수와 같다. 뽑는 개수가 전체의 절반을 넘으면 이 관계를 쓰는 편이 빠르다.
  3. 뽑은 뒤 나열까지 해야 하는 문제를 조합만으로 끝낸다. 뽑는 단계에서 답이 나왔다고 보기 때문이다. 뽑기와 나열이 함께 있으면 조합으로 뽑은 뒤 배열하는 방법의 수를 곱해야 한다. 문제가 어디까지 요구하는지 확인해야 한다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

합의 법칙과 곱의 법칙 중 어느 것을 쓸지는 문제에 '또는'이 나오면 더하고 '그리고'가 나오면 곱하면 된다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

문제에 '또는'과 '그리고' 같은 말이 자주 등장하다 보니, 그 단어 자체가 법칙 선택의 신호라고 여기기 쉬워요. 실제로는 두 경우가 서로 겹치지 않아 한 번에 하나만 일어날 수 있다면 가짓수를 더하고, 두 일이 잇따라 일어나 함께 하나의 결과를 이룬다면 가짓수를 곱하는 것이 올바른 기준이에요. 예를 들어 '그리고'라는 말이 쓰였더라도 두 경우가 동시에 일어나지 않는 상황이라면 곱이 아니라 합을 써야 할 수 있어요.
두 사건이 동시에 일어날 수 있는 경우가 있다면, 따로 센 수를 더한 뒤 겹치는 만큼을 빼야 전체 가짓수가 된다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

두 경우를 따로 세다 보면 '더하면 끝'이라고 생각하기 쉬워요. 그런데 두 사건이 동시에 일어날 수 있는 상황에서는 그 겹치는 부분이 두 번 세어지기 때문에, 실제로는 겹친 만큼을 다시 빼주어야 해요. 다 센 뒤에 '겹치는 경우가 없는지' 한 번 더 확인하는 습관을 들이면 실수를 줄일 수 있어요.
곱의 법칙을 적용할 때 각 단계에서 고를 수 있는 가짓수는 앞 단계의 결과와 상관없이 항상 처음과 같다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

각 단계의 가짓수를 따로따로 셀 때 앞의 선택이 뒤에 미치는 영향을 놓치고 처음 상태 그대로 세기 쉬워요. 실제로는 앞 단계에서 하나를 쓰고 나면 남은 것 중에서 골라야 하므로 다음 단계의 가짓수가 줄어들어요. 따라서 곱의 법칙을 쓸 때는 단계마다 그 시점에 실제로 남아 있는 가짓수를 세어 곱해야 해요.

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