피어남

뿌리학습 · 고등 수학

순열과 조합(중복순열·중복조합 포함)

공통수학에서 순열과 조합을 배웠다. 그런데 실제 상황에서는 같은 것을 여러 번 쓸 수 있거나, 똑같이 생긴 것이 섞여 있는 경우가 많다. 이 단원에서는 그런 경우를 세는 방법으로 중복순열과 같은 것이 있는 순열, 중복조합을 배우고, 두 항의 합을 거듭제곱한 식을 전개하는 이항정리까지 다룬다.

이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?

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개념 정리

먼저 중복순열이다. 서로 다른 nn개에서 중복을 허락해 rr개를 뽑아 순서를 정해 나열하는 것을 중복순열이라 하고 그 수를 nΠr_n\Pi_r로 쓴다. 각 자리마다 nn가지가 가능하고 자리가 rr개이므로 nΠr=nr_n\Pi_r=n^r이다. 여기서 순열과 다른 점이 있다. 같은 것을 다시 쓸 수 있으므로 rr가 nn보다 커도 된다. 예를 들어 33개의 숫자로 두 자리 수를 만드는 방법은 32=93^2=9가지다.
같은 것이 섞여 있으면 셈이 달라진다. 모두 다른 것처럼 세면 같은 것끼리 자리를 바꾼 경우가 거듭 세어지기 때문이다. 그래서 전체를 배열하는 수를 같은 것의 개수의 계승으로 나눈다. 같은 것이 여러 종류이면 각 종류의 계승을 모두 곱해 그 값으로 나눈다. A\mathrm{A}가 22개, B\mathrm{B}가 22개인 네 글자를 배열하는 방법은 4!2!×2!=6\frac{4!}{2!\times2!}=6가지다.
이번에는 순서를 따지지 않는 경우다. 서로 다른 nn개에서 중복을 허락해 rr개를 뽑는 것을 중복조합이라 하고 그 수를 nHr_n\mathrm{H}_r로 쓴다. 이 값은 조합의 수로 바꿀 수 있어서 nHr=n+r−1Cr_n\mathrm{H}_r={}_{n+r-1}\mathrm{C}_r이다. 서로 다른 44개에서 중복을 허락해 22개를 뽑는 방법은 4H2=5C2=10_4\mathrm{H}_2={}_5\mathrm{C}_2=10가지다.
중복조합이 빛을 발하는 곳은 나누어 주는 문제다. 같은 것 여러 개를 서로 다른 대상에게 나누어 주는 방법의 수나, 방정식의 음이 아닌 정수해의 개수가 그렇다. x+y+z=5x+y+z=5를 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수는 55개를 세 자리에 나누어 주는 것과 같으므로 3H5=7C5=21_3\mathrm{H}_5={}_7\mathrm{C}_5=21이다. 각 미지수가 11 이상이어야 한다면 먼저 하나씩 배정한 뒤 남은 것을 나누면 된다.
마지막은 이항정리다. 두 항의 합을 nn제곱한 식을 전개하면 각 항의 계수가 조합의 수로 나타난다. (a+b)n(a+b)^n의 전개식에서 rr가 00부터 nn까지 변할 때 일반항은 nCran−rbr_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r이고, 두 지수의 합이 항상 nn이 된다는 점을 확인하면 자리를 헷갈리지 않는다. 이때 나타나는 조합의 수를 이항계수라 하며, 이 값들을 차례로 늘어놓으면 위아래 관계가 규칙을 이루는 파스칼의 삼각형이 된다. 주의할 점이 하나 있다. 괄호 안에 수가 곱해져 있으면 그 수의 거듭제곱까지 함께 곱해야 실제 계수가 되므로 이항계수와 항의 계수는 다르다.
여기서 익힌 셈법은 다음 단원의 확률에서 바로 쓰인다. 확률을 구하려면 전체 경우의 수와 조건에 맞는 경우의 수를 각각 세어야 하는데, 중복을 허락하는 상황이나 같은 것이 섞인 상황이 자주 등장하기 때문이다. 어떤 방식으로 세는지를 정확히 가르는 것이 확률 계산의 출발점이다.

자주 하는 착각

중복순열

  1. 중복순열과 순열을 구분하지 않는다. 둘 다 순서를 따지기 때문이다. 순열은 한 번 쓴 것을 다시 쓸 수 없지만 중복순열은 같은 것을 거듭 쓸 수 있다. 문제에 중복을 허락한다는 조건이 있는지 먼저 확인해야 한다.
  2. 중복순열의 수를 구할 때 밑과 지수를 뒤바꾼다. 두 수가 식에 함께 나오기 때문이다. 서로 다른 n개에서 중복을 허락해 r개를 뽑아 나열하는 경우의 수는 n을 r번 곱한 값이다. 자리마다 n가지가 가능하므로 자리의 개수가 지수가 된다.
  3. 중복순열에서도 뽑는 개수가 전체보다 클 수 없다고 본다. 순열의 조건을 그대로 옮기기 때문이다. 중복을 허락하면 같은 것을 여러 번 쓸 수 있으므로 뽑는 개수가 전체보다 커도 된다.

같은 것이 있는 순열

  1. 같은 것이 있는 순열에서 나누는 까닭을 모른 채 식만 쓴다. 공식을 외워서 쓰기 때문이다. 같은 것끼리 자리를 바꾸어도 같은 배열이 되므로 그만큼 거듭 세어진다. 그래서 같은 것의 개수의 계승으로 나눈다.
  2. 같은 것이 여러 종류일 때 한 종류만 처리한다. 눈에 띄는 것부터 나누고 끝내기 때문이다. 같은 것이 여러 종류이면 각 종류의 개수의 계승을 모두 곱해 그 값으로 나눈다.

중복조합

  1. 중복조합과 중복순열을 구분하지 않는다. 두 이름이 비슷하기 때문이다. 갈림길은 순서를 따지는지다. 순서를 따지면 중복순열, 따지지 않으면 중복조합이다.
  2. 중복조합의 수를 조합의 수로 바꿀 때 수를 잘못 넣는다. 공식의 모양만 기억하기 때문이다. 서로 다른 n개에서 중복을 허락해 r개를 뽑는 경우의 수는 n과 r을 더한 뒤 1을 뺀 수에서 r개를 뽑는 조합의 수와 같다.
  3. 방정식의 해의 개수를 세는 문제를 중복조합으로 바꾸지 못한다. 식과 뽑기가 연결되지 않기 때문이다. 음이 아닌 정수해의 개수는 각 미지수에 나누어 줄 개수를 고르는 것과 같아 중복조합으로 센다. 미지수가 1 이상이어야 한다면 먼저 하나씩 배정한 뒤 남은 것을 나누면 된다.

이항정리

  1. 전개식의 일반항에서 두 문자의 지수를 뒤바꾼다. 항의 번호와 지수를 헷갈리기 때문이다. 두 항의 합을 n제곱한 전개식에서 일반항은 조합의 수에 앞 문자의 n−r제곱과 뒤 문자의 r제곱을 곱한 꼴이다. 두 지수의 합이 n이 되는지 확인하면 된다.
  2. 특정 항의 계수를 구할 때 이항계수만 답한다. 계수를 조합의 수와 같은 것으로 보기 때문이다. 괄호 안에 수가 곱해져 있으면 그 수의 거듭제곱까지 함께 곱해야 실제 계수가 된다. 이항계수와 항의 계수는 다르다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

순열과 중복순열은 둘 다 순서를 따지므로 계산 방법이 서로 같다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

순열과 중복순열 모두 순서를 고려한다는 공통점이 있어서, 두 가지가 같은 방법으로 계산된다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 중복을 허락하는지 여부에 따라 계산 방법이 달라지기 때문에, 문제에 '중복을 허락한다'는 조건이 있는지 먼저 확인하는 것이 중요해요.
서로 다른 n개에서 중복을 허락해 r개를 뽑아 나열하는 경우의 수는 n을 r번 곱한 값이다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

n과 r이 식에 함께 등장하다 보니 어느 것이 밑이고 어느 것이 지수인지 헷갈려서 뒤바꾸기 쉬워요. 실제로는 자리 하나하나마다 n가지를 선택할 수 있고, 그 자리가 r개이므로 n을 r번 곱해 n^r이 맞아요.
중복순열에서는 뽑는 개수가 전체 원소의 개수보다 클 수 없다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

순열에서는 한 번 사용한 원소를 다시 사용할 수 없기 때문에 뽑는 개수가 전체 개수를 넘을 수 없어요. 이 조건을 중복순열에도 그대로 적용하기 쉬운데, 중복순열은 '중복을 허락한다'는 점이 핵심 차이예요. 실제로는 같은 원소를 몇 번이든 반복해서 쓸 수 있기 때문에, 뽑는 개수가 전체 원소의 개수보다 많아도 중복순열이 성립해요.

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