뿌리학습 · 고등 수학
행렬과 그 연산
여러 값이 한꺼번에 주어지는 자료는 표로 정리하면 한눈에 들어온다. 이 표에서 수만 남겨 직사각형 모양으로 묶어 하나의 대상처럼 다루는 것이 행렬이다. 이 단원에서는 행렬로 자료를 나타내는 방법과 행렬끼리의 계산을 배운다. 자료를 다루는 새로운 언어를 하나 익히는 셈이다.
이 단원, 내가 꺼낼 수 있는지 확인해 볼까요?
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개념 정리
수나 문자를 직사각형 모양으로 배열하고 괄호로 묶은 것을 행렬이라 한다. 가로로 늘어선 줄을 행, 세로로 늘어선 줄을 열이라 하고, 배열된 각각을 성분이라 한다. 행이 개, 열이 개이면 행렬이라 부르고, 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬은 정사각행렬이라 한다. 성분의 위치는 몇 행 몇 열인지로 나타내며, 순서를 바꾸면 다른 자리를 가리키게 된다. 두 행렬이 같다는 것은 꼴이 같고 같은 자리의 성분이 모두 같다는 뜻이다.
행렬이 쓸모 있는 것은 자료를 구조째로 담기 때문이다. 두 가게에서 세 가지 물건이 팔린 개수를 정리한다면, 행을 가게로 열을 물건으로 잡아 행렬로 나타낼 수 있다. 이때 행과 열이 각각 무엇을 뜻하는지 먼저 정해 두어야 나중에 계산 결과를 해석할 수 있다. 같은 자료라도 행과 열을 바꾸어 잡으면 행렬의 꼴이 달라진다.
계산부터 보자. 덧셈과 뺄셈은 두 행렬의 꼴이 같을 때만 할 수 있고, 같은 자리의 성분끼리 더하거나 뺀다. 앞의 예에서 이번 달과 지난달의 판매량 행렬을 더하면 두 달의 합계가 자리마다 구해진다. 실수배는 모든 성분에 그 수를 곱하는 것으로, 값이 일정한 비율로 늘거나 줄 때 쓴다.
곱셈은 규칙이 다르다. 앞 행렬의 한 행과 뒤 행렬의 한 열을 짝지어, 대응하는 성분끼리 곱한 값을 모두 더해 하나의 성분을 만든다. 그래서 앞 행렬의 열의 개수와 뒤 행렬의 행의 개수가 같아야 곱할 수 있고, 결과는 앞 행렬의 행의 개수와 뒤 행렬의 열의 개수를 꼴로 갖는다. 여기서는 행과 열의 개수가 각각 둘을 넘지 않는 범위에서 다룬다. 예를 들어 이다.
행렬의 곱셈에는 수의 곱셈과 다른 점이 있다. 순서를 바꾸면 결과가 달라지는 경우가 많다. 앞의 예에서 두 행렬의 순서를 바꾸어 곱하면 가 되어 앞의 결과와 다르다. 또 영행렬이 아닌 두 행렬을 곱했는데 결과가 영행렬이 되는 경우도 있다. 수에서 두 수의 곱이 이면 둘 중 하나가 이었던 것과 다르다. 이런 차이는 규칙으로 외우기보다 직접 계산해 확인하는 편이 오래 남는다.
행렬은 여러 값을 한 덩어리로 다루는 표현이어서 쓰임이 넓다. 자료를 정리하고 변환하는 데 쓰이고, 컴퓨터 그래픽에서 도형을 옮기거나 돌리는 계산, 인공지능에서 많은 수를 한꺼번에 다루는 계산도 같은 구조 위에서 이루어진다. 여기서는 그 첫걸음으로 표현과 기본 연산까지 익힌다.
자주 하는 착각
행렬의 뜻
- 행과 열을 뒤바꾸어 읽는다. 두 말이 비슷하게 들리기 때문이다. 행은 가로로 늘어선 줄이고 열은 세로로 늘어선 줄이다. 성분의 위치를 말할 때는 몇 행 몇 열인지 순서대로 밝힌다.
- 성분의 개수만 같으면 같은 꼴이라고 본다. 전체 개수로 크기를 생각하기 때문이다. 행렬의 꼴은 행의 개수와 열의 개수로 정해진다. 성분이 여섯 개여도 두 행 세 열인 행렬과 세 행 두 열인 행렬은 서로 다른 꼴이다.
- 두 행렬이 같다는 것을 성분 몇 개가 같은 것으로 본다. 부분만 비교하기 때문이다. 두 행렬이 같으려면 꼴이 같고 같은 자리의 성분이 모두 같아야 한다. 미지수를 구하는 문제는 이 조건에서 식을 세운다.
덧셈과 뺄셈, 실수배
- 꼴이 다른 두 행렬을 더하거나 뺀다. 수처럼 자유롭게 계산할 수 있다고 보기 때문이다. 덧셈과 뺄셈은 두 행렬의 꼴이 같을 때에만 할 수 있고, 같은 자리의 성분끼리 더하거나 뺀다.
- 실수배에서 일부 성분에만 수를 곱한다. 첫 성분만 처리하고 넘어가기 때문이다. 실수배는 모든 성분에 그 수를 곱한다. 분배해 곱하는 과정을 빠뜨리지 않아야 한다.
곱셈
- 두 행렬의 곱을 같은 자리의 성분끼리 곱한 것으로 본다. 덧셈의 방식을 그대로 옮기기 때문이다. 곱셈은 앞 행렬의 한 행과 뒤 행렬의 한 열을 짝지어 대응하는 성분끼리 곱한 뒤 모두 더해 한 성분을 만든다. 규칙이 덧셈과 전혀 다르다.
- 곱할 수 있는지 확인하지 않고 계산을 시작한다. 두 행렬이 있으면 곱셈이 늘 가능하다고 여기기 때문이다. 앞 행렬의 열의 개수와 뒤 행렬의 행의 개수가 같아야 곱할 수 있다. 결과의 꼴은 앞 행렬의 행의 개수와 뒤 행렬의 열의 개수로 정해진다.
- 두 행렬의 곱에서 순서를 바꾸어도 결과가 같다고 본다. 수의 곱셈에서 순서를 바꿔도 같았기 때문이다. 행렬의 곱셈은 순서를 바꾸면 결과가 달라지는 경우가 많다. 곱할 수 있는지조차 순서에 따라 달라질 수 있다.
- 두 행렬의 곱이 영행렬이면 둘 중 하나가 영행렬이라고 본다. 수에서 곱이 0이면 둘 중 하나가 0이던 것을 옮기기 때문이다. 행렬에서는 영행렬이 아닌 두 행렬의 곱이 영행렬이 되는 경우가 있다. 수에서 성립하던 성질을 그대로 옮기면 안 된다.
행렬의 활용
- 자료를 행렬로 나타낼 때 행과 열이 무엇을 뜻하는지 정하지 않는다. 숫자만 옮겨 적기 때문이다. 행이 무엇을 나타내고 열이 무엇을 나타내는지 먼저 정해야 계산 결과도 해석할 수 있다. 같은 자료라도 행과 열을 어떻게 잡느냐에 따라 행렬의 꼴이 달라진다.
이런 오개념, 나도 갖고 있을까?
행은 세로로 늘어선 줄이고 열은 가로로 늘어선 줄이다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
행과 열은 발음이 비슷하고 둘 다 줄을 가리키는 말이라서 어느 쪽이 가로이고 어느 쪽이 세로인지 헷갈리기 쉬워요. 실제로는 행이 가로 방향의 줄, 열이 세로 방향의 줄이에요. 성분의 위치를 나타낼 때도 몇 행 몇 열의 순서로, 가로 위치를 먼저 밝히고 세로 위치를 나중에 밝힌답니다.
행렬의 꼴은 행의 개수와 열의 개수로 결정되므로, 성분의 개수가 같아도 꼴이 다를 수 있다.정답 보기
O (맞는 설명이에요)
성분의 전체 개수만 보고 크기를 판단하다 보면, 개수가 같은 행렬은 모두 같은 꼴이라고 생각하기 쉬워요. 실제로는 행이 몇 개이고 열이 몇 개인지가 함께 정해져야 꼴이 결정돼요. 예를 들어 성분이 여섯 개인 행렬이라도 2행 3열과 3행 2열은 서로 다른 꼴이에요.
두 행렬에서 같은 자리의 성분이 몇 개만 같으면 두 행렬은 서로 같다고 할 수 있다.정답 보기
X (흔한 오개념이에요)
수나 식에서 일부가 같으면 같다고 보는 경우가 많아서, 행렬에서도 성분 몇 개만 일치하면 같다고 생각하기 쉬워요. 실제로는 두 행렬의 꼴이 같아야 하고, 같은 자리에 있는 성분이 하나도 빠짐없이 모두 같아야 두 행렬이 같다고 할 수 있어요. 미지수를 구하는 문제에서도 이 조건을 바탕으로 각 자리의 성분을 하나씩 비교해 식을 세워야 해요.
나머지 OX 문제와 4지선다 문제는 앱에서 풀어볼 수 있어요.
교육부 고시 제2022-33호 수학 교육과정 기반