피어남

뿌리학습 · 고등 수학

다항함수의 적분법

미분이 순간의 변화를 재는 일이었다면, 적분은 그 변화를 모아 전체를 알아내는 일이다. 속도를 알 때 이동한 거리를 구하거나, 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 것이 그런 예다. 이 단원에서는 미분의 반대 과정인 부정적분에서 출발해 정적분을 정의하고, 넓이와 운동에 활용하는 방법까지 다룬다.

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개념 정리

미분하면 f(x)f(x)가 되는 함수를 f(x)f(x)의 부정적분이라 하고 ∫f(x) dx\int f(x)\,dx로 쓴다. 여기서 놓치기 쉬운 것이 적분상수다. 미분할 때 상수항은 사라지므로 거꾸로 돌아올 때는 어떤 상수가 있었는지 알 수 없다. 그래서 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)일 때 ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx=F(x)+C로 쓰고 CC를 적분상수라 한다.
계산 규칙은 미분을 뒤집으면 된다. nn이 음이 아닌 정수일 때 ∫xn dx=1n+1xn+1+C\int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C다. 지수를 11만큼 늘리고 그 늘어난 지수로 나눈다. 실수배와 합, 차는 나누어 계산할 수 있지만 곱은 그렇지 않다. 다항식의 곱이라면 먼저 전개한 뒤 항별로 적분해야 한다. 예를 들어 ∫(3x2−2x) dx=x3−x2+C\int(3x^2-2x)\,dx=x^3-x^2+C다.
이제 정적분이다. 구간 [a, b][a,\ b]를 잘게 나누어 각 부분에서 함숫값과 그 폭을 곱해 모두 더한 뒤 폭을 한없이 작게 하면 하나의 값에 다가간다. 이 값이 정적분 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx이고, 그래프가 xx축 위에 있으면 곡선과 xx축 사이의 넓이와 같다. 부정적분이 함수인 것과 달리 정적분은 하나의 수라는 점이 중요하다.
정적분을 직접 그렇게 계산하는 것은 번거롭다. 다행히 미분과 적분이 서로 반대 과정이라는 사실에서 계산 방법이 나온다. f(x)f(x)의 부정적분 가운데 하나를 F(x)F(x)라 하면 ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)다. 이때 적분상수는 빼는 과정에서 서로 지워지므로 쓰지 않는다. 또 두 끝을 바꾸면 값의 부호가 반대가 되고, 위끝과 아래끝이 같으면 값은 00이다. ∫01x2 dx=13\int_0^1 x^2\,dx=\frac{1}{3}이다.
넓이를 구할 때는 한 가지를 꼭 확인해야 한다. 정적분의 값이 곧 넓이인 것은 그래프가 xx축 위에 있을 때뿐이다. 아래에 있으면 값이 음수가 되므로, 구간 안에서 그래프가 xx축을 가로지르면 나누어 계산하고 아래쪽은 부호를 바꾸어 더한다. 두 곡선 사이의 넓이라면 만나는 점을 먼저 구해 구간을 정하고, 위에 있는 함수에서 아래에 있는 함수를 뺀 것을 적분한다. y=xy=x와 y=x2y=x^2이 00과 11에서 만나므로 그 사이의 넓이는 ∫01(x−x2) dx=12−13=16\int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}이다.
운동에도 같은 원리가 쓰인다. 수직선 위를 움직이는 점의 속도가 v(t)v(t)일 때, 시각 aa부터 bb까지 속도를 적분하면 위치의 변화량이 나온다. 실제로 움직인 거리는 다르다. 속도가 음수인 구간에서는 반대 방향으로 움직이므로, 거리를 구하려면 속도의 절댓값을 적분해야 한다. v(t)=2t−4v(t)=2t-4인 점이 00부터 33까지 움직였다면 위치의 변화량은 −3-3이지만 실제로 움직인 거리는 55다. 미분에서 배운 도함수와 여기서 배운 적분이 서로 반대 방향이라는 점이 미적분 전체를 꿰는 생각이다.

자주 하는 착각

부정적분

  1. 부정적분을 구하고 적분상수를 빠뜨린다. 미분의 반대로만 생각하기 때문이다. 미분하면 상수항이 사라지므로 거꾸로 돌아올 때는 어떤 상수가 있었는지 알 수 없다. 그래서 적분상수를 붙여 모든 경우를 한꺼번에 나타낸다.
  2. 부정적분과 정적분을 같은 것으로 본다. 기호가 비슷하기 때문이다. 부정적분의 결과는 함수이고 정적분의 결과는 하나의 수다. 무엇을 구하는지부터 가려야 한다.
  3. 거듭제곱을 적분할 때 지수 처리를 잘못한다. 미분의 규칙을 반대로 떠올리기 때문이다. 지수를 1만큼 늘리고 그 늘어난 지수로 나눈다. 미분과 정반대로 움직인다는 점을 기억하면 헷갈리지 않는다.
  4. 두 함수의 곱을 각각 적분해서 곱한다. 합과 차에서 나누어 계산했기 때문이다. 곱의 적분은 그렇게 되지 않는다. 다항식이라면 먼저 전개해 항별로 적분해야 한다.

정적분의 뜻과 계산

  1. 정적분의 값이 언제나 넓이라고 본다. 넓이를 구하는 방법으로 배우기 때문이다. 그래프가 x축 아래에 있는 구간에서는 정적분의 값이 음수가 된다. 넓이는 음수가 될 수 없으므로 둘을 구분해야 한다.
  2. 위끝과 아래끝을 바꾸어 써도 값이 같다고 본다. 구간만 맞으면 된다고 생각하기 때문이다. 두 끝을 바꾸면 값의 부호가 반대가 된다.
  3. 정적분을 계산할 때 적분상수를 그대로 남긴다. 부정적분의 결과를 그대로 쓰기 때문이다. 위끝의 값에서 아래끝의 값을 빼는 과정에서 적분상수는 서로 지워진다. 그래서 정적분에서는 적분상수를 쓰지 않는다.

넓이와 속도

  1. 넓이를 구할 때 그래프가 x축 위에 있는지 아래에 있는지 확인하지 않는다. 구간의 양 끝만 보고 계산하기 때문이다. 구간 안에서 그래프가 x축을 가로지르면 나누어 계산해야 한다. 아래쪽 부분은 부호를 바꾸어 더한다.
  2. 두 곡선 사이의 넓이에서 어느 쪽이 위인지 정하지 않는다. 식의 순서를 주어진 대로 쓰기 때문이다. 위에 있는 함수에서 아래에 있는 함수를 빼야 하고, 두 곡선이 만나는 점을 먼저 구해 구간을 정해야 한다.
  3. 속도를 적분한 값을 움직인 거리로 본다. 속도와 속력을 같은 것으로 보기 때문이다. 속도를 적분하면 위치의 변화량이 나온다. 수직선 위를 움직이는 점이 실제로 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분해 구하며, 계산할 때는 속도의 부호가 바뀌는 시각을 찾아 구간을 나누면 된다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

다항함수의 부정적분을 구할 때 적분상수를 쓰지 않아도 된다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

미분을 배울 때 상수항을 미분하면 0이 되어 사라지는 것을 익히다 보면, 거꾸로 적분할 때도 상수 없이 결과를 쓰기 쉬워요. 그런데 미분하면 상수항이 사라지기 때문에, 반대로 적분할 때는 원래 어떤 상수가 있었는지 알 수 없어요. 그래서 실제로는 어떤 상수였든 표현할 수 있도록 적분상수 C를 반드시 붙여 모든 경우를 한꺼번에 나타내야 해요.
부정적분의 결과는 함수이고, 정적분의 결과는 하나의 수이므로 둘은 서로 다른 것이다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

부정적분과 정적분 모두 ∫ 기호를 사용하기 때문에 같은 개념이라고 생각하기 쉬워요. 실제로는 두 기호의 생김새가 비슷할 뿐, 구하는 대상이 전혀 달라요. 부정적분은 어떤 함수를 미분하면 주어진 식이 되는 함수 자체를 구하는 것이고, 정적분은 두 수 사이의 구간에서 계산된 하나의 수를 구하는 것이에요. 그래서 문제를 풀기 전에 무엇을 구하는 것인지를 먼저 확인하는 것이 중요해요.
거듭제곱을 적분할 때 지수를 1만큼 줄이고 그 줄어든 지수를 곱한다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

미분할 때 지수를 1만큼 줄이고 그 지수를 앞에 곱하는 규칙이 익숙하다 보니, 적분에서도 같은 방식을 떠올리기 쉬워요. 실제로는 적분은 미분과 정반대로 움직여서, 지수를 1만큼 늘린 다음 그 늘어난 지수로 나누는 것이 맞아요.

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