피어남

뿌리학습 · 고등 수학

평면벡터

크기만 있는 양이 있고, 크기와 함께 방향이 있어야 뜻이 분명해지는 양이 있다. 힘이나 속도처럼 방향이 필요한 양을 나타내는 도구가 벡터다. 이 단원에서는 벡터의 연산과 좌표 표현을 익히고, 두 벡터가 이루는 각을 다루는 내적을 배운 뒤, 직선과 평면과 구를 벡터로 나타내는 방법까지 다룬다.

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개념 정리

벡터는 크기와 방향으로 정해진다. 그래서 크기와 방향이 같으면 어디에 그려져 있든 같은 벡터다. 두 벡터의 덧셈은 한 벡터의 종점에 다른 벡터의 시점을 이어 붙여 구하고, 뺄셈은 빼는 벡터의 방향을 반대로 바꾸어 더하는 것과 같다. 영벡터가 아닌 벡터의 실수배에서는 곱한 수가 음수이면 방향이 반대가 되고 크기는 그 수의 절댓값만큼 바뀐다. 크기가 00인 벡터를 영벡터라 하며 방향은 생각하지 않고, 크기가 11인 벡터를 단위벡터라 한다. 단위벡터는 방향마다 있으므로 무수히 많고, 영벡터가 아닌 벡터 a⃗\vec{a}와 같은 방향의 단위벡터는 a⃗∣a⃗∣\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}다.
기준점 OO를 정하면 점 P\mathrm{P}를 벡터 OP→\overrightarrow{\mathrm{OP}}로 나타낼 수 있고 이를 위치벡터라 한다. 이때 점 A\mathrm{A}에서 점 B\mathrm{B}로 향하는 벡터는 AB→=OB→−OA→\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}다. 순서를 바꾸면 방향이 반대가 되니 주의해야 한다. 좌표를 도입하면 벡터를 성분으로 쓸 수 있다. 평면에서 a⃗=(a1, a2)\vec{a}=(a_1,\ a_2)이면 크기는 ∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}이고, 공간에서는 성분이 셋이 되어 ∣a⃗∣=a12+a22+a32|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}이 될 뿐 방식은 같다.
두 벡터가 이루는 각을 다루는 연산이 내적이다. 두 벡터의 시점을 한 점에 맞추었을 때 이루는 각을 θ\theta라 하면 a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta이고, 성분으로는 a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2다. 결과가 벡터가 아니라 실수라는 점이 중요하다. 두 벡터가 모두 영벡터가 아닐 때, 내적이 00이라는 것과 두 벡터가 수직이라는 것은 같은 말이다. 예를 들어 (1, 2)(1,\ 2)와 (2, −1)(2,\ -1)의 내적은 2−2=02-2=0이므로 두 벡터는 서로 수직이다.
벡터를 쓰면 도형의 방정식이 간결해진다. 점 A\mathrm{A}를 지나고 영벡터가 아닌 방향벡터 u⃗\vec{u}를 갖는 직선 위의 점 P\mathrm{P}는 OP→=OA→+tu⃗\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\vec{u}로 나타난다. 여기서 u⃗\vec{u}를 방향벡터라 하고 tt는 실수다. 좌표평면에서 점 (1, 2)(1,\ 2)를 지나고 방향벡터가 (3, 1)(3,\ 1)인 직선은 (x, y)=(1, 2)+t(3, 1)(x,\ y)=(1,\ 2)+t(3,\ 1)이다.
좌표공간에서는 평면도 벡터로 나타낼 수 있다. 평면에 수직인 벡터를 법선벡터라 하는데, 점 A\mathrm{A}를 지나고 영벡터가 아닌 법선벡터 n⃗\vec{n}을 갖는 평면 위의 점 P\mathrm{P}는 n⃗⋅AP→=0\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}=0을 만족한다. 점 (1, 2, 3)(1,\ 2,\ 3)을 지나고 법선벡터가 (2, −1, 2)(2,\ -1,\ 2)인 평면은 2(x−1)−(y−2)+2(z−3)=02(x-1)-(y-2)+2(z-3)=0, 곧 2x−y+2z=62x-y+2z=6이다. 여기서 알 수 있듯이 좌표공간에서 x, y, zx,\ y,\ z의 계수가 모두 00은 아닌 일차방정식은 직선이 아니라 평면을 나타낸다. 구도 마찬가지로 중심에서의 거리가 일정하다는 조건을 벡터로 옮겨 나타낼 수 있다.
벡터는 표현을 간결하게 만드는 데 그치지 않는다. 도형의 성질을 좌표 없이도 다룰 수 있게 해 주고, 물리에서 힘과 속도를 다루는 언어가 되며, 대학에서 배우는 선형대수의 출발점이 된다. 평면에서 공간으로 넓혀 가며 같은 방식이 그대로 통한다는 점이 이 단원에서 얻어 갈 감각이다.

자주 하는 착각

벡터의 뜻과 연산

  1. 시점이 다르면 다른 벡터라고 본다. 화살표가 그려진 자리를 벡터의 일부로 보기 때문이다. 벡터는 크기와 방향으로만 정해지므로, 크기가 같고 방향이 같으면 평면의 어디에 그려져 있든 같은 벡터다. 위치를 함께 다루고 싶을 때 기준점을 정해 위치벡터로 나타낸다.
  2. 벡터의 실수배에서 음수를 곱할 때의 방향을 놓친다. 실수배를 크기만 바꾸는 연산으로 여기기 때문이다. 영벡터가 아닌 벡터에 음수를 곱하면 방향이 반대가 되고 크기는 곱한 수의 절댓값만큼 늘거나 줄어든다.
  3. 영벡터에도 방향이 있다고 보거나 크기가 0인 벡터를 수 0과 같이 다룬다. 다른 벡터와 같은 방식으로 취급하기 때문이다. 영벡터는 크기가 0인 벡터로 방향은 생각하지 않는다. 그래서 수직인지 따지는 문제에서는 영벡터가 아니라는 조건이 필요하다.
  4. 단위벡터가 하나뿐이라고 본다. 크기가 1이라는 조건만 기억하기 때문이다. 크기가 1인 벡터는 방향마다 있으므로 무수히 많다. 영벡터가 아닌 벡터와 같은 방향의 단위벡터는 그 벡터를 자신의 크기로 나누어 구한다. 영벡터는 크기가 0이어서 나눌 수 없다.

위치벡터와 성분

  1. 두 점을 잇는 벡터를 위치벡터로 나타낼 때 뺄셈의 순서를 뒤바꾼다. 앞에 적힌 점을 먼저 쓰는 습관 때문이다. 점 A에서 점 B로 향하는 벡터는 B의 위치벡터에서 A의 위치벡터를 뺀 것이다. 순서를 바꾸면 방향이 반대인 벡터가 된다.
  2. 성분으로 나타낸 벡터의 크기를 성분의 합으로 구한다. 크기를 길이의 합처럼 생각하기 때문이다. 벡터의 크기는 각 성분을 제곱해 더한 값의 음이 아닌 제곱근이다. 좌표평면에서는 두 점 사이의 거리를 구하는 방법과 같다.

내적

  1. 내적의 결과를 벡터라고 본다. 벡터끼리의 연산이니 결과도 벡터일 것이라고 생각하기 때문이다. 두 벡터의 내적은 실수다. 그래서 내적한 결과에 벡터의 크기를 구한다는 뜻의 기호를 붙일 수는 없다. 다만 실수의 절댓값을 구하는 것은 가능하다.
  2. 내적이 0이면 언제나 두 벡터가 수직이라고 본다. 수직 조건을 하나의 공식으로만 외우기 때문이다. 두 벡터가 모두 영벡터가 아닐 때 내적이 0이면 수직이다. 한쪽이 영벡터이면 내적은 0이지만 수직이라고 말하지 않는다.
  3. 내적의 정의에 나오는 각을 아무 각으로 잡는다. 그림에 보이는 각을 그대로 쓰기 때문이다. 두 벡터의 시점을 한 점에 맞추었을 때 이루는 각을 써야 한다. 도형 문제에서는 벡터를 평행이동해 시점을 맞춘 뒤 각을 읽어야 한다.

도형의 방정식

  1. 좌표공간에서 x, y, z에 대한 일차방정식이 직선을 나타낸다고 본다. 좌표평면에서 일차방정식이 직선이었기 때문이다. 좌표공간에서 x, y, z의 계수가 모두 0은 아닌 일차방정식은 평면을 나타내며, 이때 계수로 이루어진 벡터가 그 평면에 수직인 법선벡터다. 직선은 방향벡터를 이용한 벡터방정식으로 나타낸다.

이런 오개념, 나도 갖고 있을까?

시점이 다른 두 벡터는 크기와 방향이 같더라도 서로 다른 벡터이다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

벡터를 종이 위에 화살표로 그릴 때, 그 화살표가 놓인 자리까지 벡터의 일부라고 느끼기 쉬워요. 그래서 시점이 바뀌면 다른 벡터라고 생각하게 되는 거예요. 실제로는 벡터는 크기와 방향만으로 결정되기 때문에, 평면의 어느 위치에 그려져 있든 크기와 방향이 같으면 같은 벡터예요. 위치 정보까지 함께 나타내고 싶을 때는 기준점을 정해 위치벡터로 따로 표현하면 돼요.
영벡터가 아닌 벡터에 음수를 곱하면 방향이 반대가 되고, 크기는 곱한 수의 절댓값만큼 변한다.정답 보기

O (맞는 설명이에요)

실수배를 배울 때 양수를 곱하는 경우를 먼저 접하다 보면, 실수배가 크기만 바꾸는 연산이라고 여기기 쉬워요. 실제로는 음수를 곱할 경우 방향도 반대로 바뀌는 것이 핵심이에요. 크기는 곱한 수의 절댓값에 따라 결정되고, 방향의 변화는 부호에 따라 결정된다고 이해하면 혼동을 줄일 수 있어요.
영벡터는 크기가 0인 벡터이지만 다른 벡터와 마찬가지로 방향을 가진다.정답 보기

X (흔한 오개념이에요)

벡터를 배울 때 크기와 방향을 함께 다루다 보면, 영벡터에도 자연스럽게 방향이 있을 것이라고 생각하기 쉬워요. 하지만 영벡터는 시작점과 끝점이 같아서 방향 자체를 정할 수 없기 때문에 방향을 생각하지 않아요. 그래서 두 벡터가 서로 수직인지 따지는 문제처럼 방향이 의미 있는 상황에서는 '영벡터가 아니다'라는 조건이 따로 필요하게 돼요.

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